Dokažimo da je Mandelbrotov skup [math]M[/math] ujedno ograničen (preciznije, da je podskup zatvorene kugle [math]B\left[0;2\right][/math] s centrom u [math]0[/math] poluprečnikom [math]2[/math]) i zatvoren, odnosno da je on jedan kompaktan skup.[br][br][b][i]Zatvorenosti: [/i][/b]Neka je [math]\left\{c_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math] niz elemenata iz [math]M[/math] takav da [math]c_n\longrightarrow c\in\mathbb{C}[/math], to znači da je za svako [math]n\in\mathbb{N}[/math], niz [math]\left\{f_{c_n}^k\left(0\right)\right\}_{k\in\mathbb{N}}[/math] ograničen, ali, kako je za svako [math]k\in\mathbb{N}[/math] izraz [math]f^k_{c_n}\left(0\right)[/math] zapravo polinomijalan po [math]c_n[/math] (pa samim tim i neprekidna funkcija po istom), mi vidimo da je zapravo i niz [math]\left\{f_c^k\left(0\right)\right\}_{k\in\mathbb{N}}[/math]ograničen. Odavde sledi da je [math]c\in M[/math], odnosno da je [math]M[/math] zatvoren.[br][br][b][i]Ograničenost: [/i][/b]Ogračenost ćemo ostaviti čitaocu za domaći, uz naredno uputstvo:[br]Pretpostavite suprotno, tj. da postoji [math]c\in M[/math] takvo da je [math]\left|c\right|=2+\delta[/math], gde je [math]\delta>0[/math]. Dokazati indukcijom da za niz s opštim članom [math]z_n=f_c^n\left(0\right)[/math] važi nejednakost [math]\left|z_n\right|\ge2+\left(n-1\right)\delta[/math] za [math]n\ge2[/math].[br][b][i][br]Povezanost:[/i][/b]Douady and Hubbard su pokazati da je [math]M[/math] i povezan skup, ali ćemo dokaz ove činjenice izostaviti sbog svoje tehničke prirode (link ka pdf-u s ovim dokazom možete naći [url=https://legacy-www.math.harvard.edu/archive/118r_spring_05/handouts/mandelbrot.pdf]ovde[/url]).

Jedna od glavnih spojnica između Mandelbrotovog skupa i popunjenog Džulijinog skupa je karakterizacija da je [math]c\in M[/math] ako i samo ako je [math]J\left(f_c\right)[/math], gde je [math]f_c\left(z\right)=z^2+c[/math], [b][i]povezan skup! [/i][/b][br][br]Neformalno govoreći, mi možemo na neki način da posmatramo kao svojevrsnu ,,mapu'' povezanih Džulijinih skupova.[br]