Maris van Haandel, Gert Heckman, Teaching the Kepler laws for freshmen, February 11, 2013[br][br][url=https://arxiv.org/pdf/0707.4605.pdf]https://arxiv.org/pdf/0707.4605.pdf[/url]

Nel seguto della trattazione considereremo die corpi di massa m[sub]1[/sub] ed m[sub]2[/sub], la massa ridotta [br]µ=m[sub]1[/sub] m[sub]2[/sub]/(m[sub]1[/sub]+m[sub]2[/sub]). La costante di accoppiamento è k=Gm[sub]1[/sub]m[sub]2 [/sub] .[br][br][br]Per un campo di forza centrale [b]F[/b]([b]r[/b]) =  [i]f[/i]([b]r[/b])[b]r[/b][i]/r [/i]il vettore del momento angolare [b]L [/b] =  [b]r[/b]×[b]p [/b]è conservato per la legge del moto di Newton [b]F [/b] =  [b]p'[/b]̇, portando così alla seconda legge di Keplero. Per un campo di forza centrale sfericamente simmetrico  [b]F[/b]([b]r[/b])=  [i]f[/i]([i]r[/i])[b]r[/b]/[i]r [/i] l'energia [i]H [/i]=  [i]p[/i][sup]2[/sup][i]/[/i]2µ +  [i]V[/i] ([i]r[/i]) , [i]V [/i] ([i]r[/i])=−[math]\int f\left(r\right)dr[/math]  è anche conservata.[br][br]Ora si consideri il problema [i]di Keplero f[/i]([i]r[/i]) =µ r"=−[i]k/r[/i][sup]2 [/sup] e  [i]V [/i] ([i]r[/i])=−[i]k/r [/i] con k [i]>[/i] 0costante di accoppiamento. Per una data energia  [i]H < [/i] 0 il moto è limitato all'interno di una sfera con centro  [b]0 [/b]e raggio −[i]k/H[/i]. [br]Considera l'immagine del piano perpendicolare a  [b]L [/b]=[b]r[/b][b]×p [/b]qui sopra disegnata.[br]Il cerchio C con centro [b]0 [/b] e raggio −[i]k/H [/i]è il confine di un disco in cui avviene il movimento con energia H [i]< [/i] 0. [br]Sia  [b]s [/b] = −[i]k[/i][b]r[/b][i]/rH [/i]la proiezione di  [b]r [/b] dal centro  [b]0 [/b] su questo cerchio [i]C[/i]. La linea [i]L[/i] per  [b]r [/b]con vettore di direzione  [b]p [/b]è la linea tangente all'orbita [i]E[/i] nella posizione  [b]r [/b] con velocità  [b]v[/b].[br]Sia  [b]t [/b]il simmetrico del punto  [b]s [/b]rispetto alla linea [i]L[/i].[br][b]Teorema. [/b][i]Il punto individuato da [/i] [b]t [/b][i] è costante[/i] ed è uguale a [b]K[/b]/µH con [b]K=p[/b]x[b]L[/b]-kµ[b]r[/b]/r (vettore di Lenz) [b]Corollario. [/b][i]L'orbita [/i][i] E  è un'ellisse con fuochi [/i][i] [/i][b]0 [/b][i] e [/i][i] [/i][b]t[/b][i], e asse lungo uguale a [/i][i] 2 [/i]a = −k/H[br][br]Procediamo a derivare la terza legge di Keplero con una trattazione standard.[br]L'ellisse E ha parametri numerici [1] a,b,c >  0 con [br]2a =−k/H, 2b[sup] [/sup] =[math]\sqrt{ }[/math] ( 2L[sup]2[/sup]/(µH))[sup] [/sup][sup] [/sup]e c[sup]2 [/sup]=[sup] [/sup]a[sup]2[/sup] - b[sup]2[/sup] .[br]L'area della regione delimitata da E è uguale a πab =  LT/(2µ) con T  il periodo dell'orbita. [br]Infatti L/2m è l'area del settore spazzata dal vettore di posizione  [b]r [/b] per unità di tempo. [br]Un calcolo semplice dà T[sup]2[/sup]/a[sup]3 [/sup]= 4π[sup]2[/sup] µ/k = 4π[sup]2 [/sup]/G(m[sub]1[/sub] +m[sub]2[/sub])[br][br]Quindi, poiché la legge di gravitazione di Newton afferma che la costante di accoppiamento k  è proporzionale al prodotto della massa  m[sub]2[/sub] del pianeta e della massa m[sub]1[/sub]  del Sole, troviamo la terza legge di Keplero che afferma che  T[sup]2[/sup]/a[sup]3 [/sup]è lo stesso per tutti i pianeti [2].[br][br]---[br][1] L'asse maggiore è uguale a 2a, l'asse minore 2b e a[sup]2 [/sup]= b[sup]2 [/sup]+ c[sup]2[/sup].[br][2] La massa µ che abbiamo usato finora è infatti uguale alla massa ridotta µ=m[sub]1[/sub] m[sub]2[/sub]/(m[sub]1[/sub]+m[sub]2[/sub]) e questa equivale quasi a m[sub]2[/sub] se m[sub]2[/sub] ≪ m[sub]1[/sub]. [br][br]

Il tema va accompagnato dalla classica soluzione del problema delle orbite in https://www.geogebra.org/m/rAuvT3Pk[br]E Gert Heckman, ON THE SHOULDERS OF GIANTS - the mechanics of Isaac Newton, in[br] https://www.math.ru.nl/~heckman/Newton%20Two%20Bodies%20book.pdf#page=50