[size=85]A távolság alapvető fogalma a geometriának. Egy pontpárokon értelmezett, nemnegatív értékű [i]d[/i] függvényt távolságnak nevezünk, ha eleget tesz a távolság [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_(mathematics)#Definition]axiómák[/url]nak:[br][/size][size=85]a) [math]d\left(P,Q\right)=0\Longleftrightarrow P=Q[/math][br]b) [math]d\left(P,Q\right)=d\left(Q,P\right)[/math] (szimmetria)[br]c) [math]d\left(P,Q\right)\le d\left(P,R\right)+d\left(R,Q\right)[/math] (háromszög egyenlőtlenség)[br][br]Korábban értelmeztük az [url=https://www.geogebra.org/m/uh8hydsw]atávolság[/url] fogalmát. A kérdés most már az, hogy az atávolság távolság-e.[br][br]A definícióból következik, hogy [math]d_a\left(P,Q\right)\ge0[/math] , az abszolút értékek miatt.[/size]

[size=85]A [url=https://www.geogebra.org/m/uh8hydsw]definíció[/url]ból nyilvánvalóan következik, hogy [math]d_a\left(P,P\right)=0[/math].[/size][br][br][size=85]Megfordítva:[/size][br][math]\left|p_1-q_1\right|+\left|p_2-q_2\right|=0[/math][br][size=85]Két nemnegatív tag összege akkor és csak akkor nulla, ha mindkét tag nulla, így[br][math]p_1-q_1=p_2-q_2=0[/math][br][math]p_1=q_1[/math] és [math]p_2=q_2[/math][br][math]P=Q[/math][br][br][/size]

[size=85]A [url=https://www.geogebra.org/m/uh8hydsw]definíció[/url] triviális következménye a szimmetria.[/size]

[size=85]A fenti GeoGebra fájl alapján úgy tűnik, hogy az atávolságra[i] teljesül[/i] a háromszög egyenlőtlenség.[br]Az előzőekből az következne, atávolság távolság.[br]Tanulságos lehet a pontos bizonyítás átgondolása.[/size]