[size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]GeoGebrabook[/b][/i][/color]s [url=https://www.geogebra.org/m/Shfa6eUj]Zwei Kreise[/url] 26.03.2020[/right][/size][size=85]Ein [color=#3c78d8][i][b]4-Eck[/b][/i][/color] besitzt nur dann einen [color=#00ffff][i][b]Umkreis[/b][/i][/color], wenn die [color=#45818e][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] auf einem [color=#00ffff][i][b]Kreis[/b][/i][/color] liegen.[br]Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn das komplexe Doppelverhältnis der [color=#45818e][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] reell ist.[br]Unter welcher Bedingung besitzt ein [color=#45818e][i][b]4-Eck mit Umkreis[/b][/i][/color] einen [color=#00ff00][i][b]Inkreis[/b][/i][/color]? Diese 4-Ecke werden "[i][b]bizentrisch[/b][/i]" genannt.[br][br]3 verschiedene [color=#45818e][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [math]z_1,z_2,z_3[/math] bestimmen einen [color=#00ffff][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch diese [/size][size=85][size=85][color=#45818e][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size] - wenn sie nicht auf einer Geraden liegen.[br]Ein 4. ter [color=#00ffff][i][b]Punkt[/b][/i][/color] [math]z_4[/math] muss laut Fragestellung auf diesem [color=#45818e][i][b]Umkreis[/b][/i][/color] liegen.[br]Ein [color=#00ff00][i][b]Inkreis[/b][/i][/color] muss z.B. die Seiten [math]z_1z_2[/math] und [math]z_1z_3[/math] berühren. [br]Die Schnittpunkte der [color=#0000ff][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] von [math]z_2[/math] und von [math]z_3[/math] an einen solchen [color=#00ff00][i][b]Kreis[/b][/i][/color] schneiden sich auf einer [color=#ff7700][i][b]Hyperbel [/b][/i][/color]mit [br]den [color=#134F5C][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] [math]z_2[/math] , [math]z_3[/math], welche durch [math]z_1[/math] geht.[br]Diese [color=#ff7700][i][b]Hyperbel[/b][/i][/color] schneidet den [/size][size=85][size=85][color=#45818e][i][b]Umkreis [/b][/i][/color][/size]in [color=#45818e][i][b]4 Punkten [/b][/i][b][color=#ff0000](nr 1, .. , 4)[/color][/b][/color], von denen der eine oder der andere das gestellte Problem löst. [br]Wählt man z.B. [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math] als [color=#45818e][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], ergeben sich andere Lösungen.[br]Genauer - es ergeben sich bei diesen Konstruktionen als Lösungen: ein echter [color=#38761D][i][b]Inkreis[/b][/i][/color], 2 [color=#38761D][i][b]"Ankreise[/b][/i][/color]" und ein [color=#ff0000][i][b]Punktkreis[/b][/i][/color], wenn 2 Punkte zusammenfallen.[br][br]Hat man eine [color=#0B5394][i][b]UmKreis[/b][/i][/color] - [color=#0B5394][i][b]InKreis[/b][/i][/color] - [color=#1e84cc][i][b]4-Ecks[/b][/i][/color] - Konfiguration gefunden, [br]so beginnt in jedem Punkt des [color=#00ffff][i][b]Umkreises[/b][/i][/color] ein [color=#1e84cc][i][b]4-Eck[/b][/i][/color] mit dieser Eigenschaft: [color=#351C75][i][b] Schließungssatz [/b][/i][/color]von [b]PONCELET[/b].[br][/size][size=85]Fixiere die Kreise und[/size] [color=#980000][i][b]b[/b][/i][/color][size=85][color=#980000][i][b][size=100]ewege[/size][/b][/i][/color] [math]w_1[/math] ! Diese Eigenschaft ist auch für die [color=#6aa84f][i][b]Ankreise[/b][/i][/color] erfüllt, allerdings darf der Punkt [math]w_1[/math] dann nicht innerhalb des [color=#6aa84f][i][b][color=#38761D]Ankreises[/color] [/b][/i][/color]liegen! [br][/size]