Vectores 3D
Unidad de Vectores en 3D de 2 Bachillerato.
Table of Contents
- Concepto de vector en el espacio
- Vector tridimensional
- Suma y resta de vectores.
- Cómo sumar y restar de vectores 3D
- Productor escalar de vectores.
- Producto escalar
- Producto vectorial.
- Producto Vectorial
- Producto mixto.
- Producto mixto de 3 vectores en el espacio y aplicaciones
Vector tridimensional
Vector 3D
Cómo sumar y restar de vectores 3D
- Mueve los vectores [math]\vec{u}[/math] y [math]\vec{v}[/math] para realizar, de forma gráfica, las operaciones que se piden. Si lo necesitas, activa la casilla de Múltiplos para trabajar con los múltiplos de los vectores.[br][br]- Para dibujar el vector solución utiliza el botón Vector entre dos puntos de la barra de herramientas.[br][br][list=1][br][*] [math]\vec{u}+\vec{v}[/math][br][*] [math]\vec{u}-\vec{v}[/math][br][*] [math]2\vec{v}-\vec{u}[/math][br][*] [math]3\vec{u}+\vec{v}[/math][br][/list][br][br](Puedes comprobar las soluciones activando las casillas de cada apartado. Después mueve el vector solución para ver si concide con el que obtuviste).[br][br]- En todos los casos realiza también las operaciones con coordenadas.
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores de [b][i]V[sup]2[/sup][/i][/b], vectores libres del plano (o de [b][i]V[sup]3[/sup][/i][/b], vectores libres del espacio), se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Como los cosenos de ángulos opuestos son iguales, de la misma definición se desprende de inmediato la conmutatividad de la operación. [br][br]A partir de ésta definición, si los vectores se expresan en una [b]base ortonormal[/b], formada por vectores mutuamente perpendiculares y de módulo 1, se ve que el producto escalar es igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes. Esto permite calcular los módulos de lo vectores y los ángulos que forman, conocida su expresión en una base ortonormal. Así pueden extenderse extenderse estos conceptos a espacios vectoriales de cualquier número de dimensiones y constituidos por elementos de todo tipo.
Marcando la casilla '[color=#38761d][b]Int. geom.[/b][/color]' puede verse la interpretación geométrica del producto escalar: es igual al producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él, en la que el papel de ambos vectores es intercambiable. Dicho de otra forma, el producto escalar es igual al producto de las componentes de ambos vectores en la dirección de cualquiera de los dos. Pulsando el botón puede intercambiarse el papel de los vectores en la interpretación geométrica.[br][br]¿Cuándo es positivo, nulo o negativo el producto escalar de dos vectores?[br][br]¿Cuánto vale el producto si uno de los vectores es el vector nulo?[br][br]¿Qué ocurre con el producto escalar si se multiplica uno de los vectores por una constante positiva?[br][br]¿Y si la constante es negativa? Ten en cuenta como cambia entonces el ángulo que forman los vectores.[br][br][br]
Producto Vectorial
El producto vectorial [b][color=#ff0000]u[/color]×[color=#38761d]v[/color][/b] de dos vectores [color=#ff0000][b]u[/b][/color] y [color=#38761d][b]v[/b][/color] de [b][i]V[sup]3[/sup][/i][/b], vectores libres del espacio, se define como otro vector [color=#0000ff][b]w[/b][/color] de [b][i]V[sup]3[/sup][/i][/b], cuyo módulo es el producto de sus módulos por el seno del ángulo que forman, su dirección la perpendicular común a ambos, y su sentido el marcado por la 'regla del sacacorchos' o 'regla de la mano derecha', al girar el primer vector hacia el segundo. De esta definición se desprende que el producto vectorial es anticonmutativo: [b][color=#ff0000]u[/color]×[color=#38761d]v[/color] = - [color=#38761d]v[/color]×[color=#ff0000]u[/color][/b].[br][br]Si los vectores están expresados en una base ortonormal, el producto vectorial también puede calcularse como un determinante inhomogéneo, cuya primera fila está constituida por los vectores de la base, y la segunda y tercera por las componentes de los dos vectores que se multiplican.
Marcando la casilla '[color=#0000ff][b]Int. geom.[/b][/color]' puede verse la interpretación geométrica del producto vectorial: su módulo es igual al área del paralelogramo determinado por los dos vectores. El vector [b][color=#0000ff]w[/color] = [color=#ff0000]u[/color]×[color=#38761d]v[/color][/b] es perpendicular a este paralelogramo, por serlo a [color=#0000ff][b]u[/b][/color] y a [color=#38761d][b]v[/b][/color].[br][br]¿Qué ocurre si los vectores son paralelos?[br][br]¿Y si uno de ellos es nulo?[br][br]¿Qué ocurre con el producto escalar si se multiplica uno de los vectores por una constante positiva?[br][br]¿Y si la constante es negativa?
Producto mixto de 3 vectores en el espacio y aplicaciones
Introducción
[justify]En estos applets se pueden manejar vectores en 3 dimensiones y calcular el producto escalar, vectorial y mixto. Además, se pueden comprobar las aplicaciones del producto mixto de 3 vectores en el espacio: calcular el volumen de un paralelepípedo y calcular el volumen de un tetraedro.[/justify]
Definición
[justify]Dados tres vectores u, v y w se llama [b]producto mixto [/b]de u, v y w al número que se obtiene al calcular el producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.[/justify][br][center][math]\left[u,v,w\right]=u\cdot\left(v\times w\right)[/math][/center]
Pregunta 1
Calcular el producto mixto,[math]\left[u,v,w\right][/math] , de los siguientes vectores:[br][list][*][math]u=\left(2,3,3\right),v=\left(1,1,1\right),w=\left(3,4,2\right)[/math][br][/*][*][math]u=(1,-2,2),v=(2,0,4),w=(3,2,2)[/math][br][/*][/list]
Comprueba las respuestas de la pregunta 1 con el siguiente applet:
AYUDA
Centra los vectores en el origen de coordenadas.
Producto mixto
Pregunta 2
Verdadero o falso. Selecciona cuales de las siguientes afirmaciones son [b]propiedades[/b] del producto mixto. Para contestar puedes apoyarte en el applet.
Aplicaciones del producto mixto
[justify][b]Volumen del paralelepípedo[br][/b]El valor absoluto del producto mixto de tres vectores coincide con el volumen del paralelepípedo definido por ellos. [/justify]
Pregunta 3
Calcular el volumen con el producto mixto de los paralelepípedos definidos por los siguientes vectores:[br][list][*][math]u=\left(1,-2,2\right),v=\left(2,0,4\right),w=\left(3,2,2\right)[/math][br][/*][*][math]u=\left(2,4,3\right),v=\left(2,0,4\right),w=\left(1,2,3\right)[/math][br][/*][/list]
Comprueba las respuestas de la pregunta 3 con el siguiente applet:
Volumen paralelepípedo
Aplicaciones del producto mixto
[b]Volumen del tetraedro[br][/b]El volumen de un tetraedro de vértices A, B, C y D es igual a un sexto del producto mixto en valor absoluto.
Pregunta 4
Calcula el volumen de los tetraedros de vértices[br][list][*][math]A\left(1,2,3\right),B\left(2,4,3\right),C\left(1,5,2\right),D\left(5,1,0\right)[/math][/*][*][math]A\left(1,0,2\right),B\left(3,4,2\right),C\left(3,2,1\right),D\left(2,3,1\right)[/math][/*][/list]aplicando el producto mixto.
Comprueba las respuestas de la pregunta 4 con el siguiente applet: