2-①에서 살펴본 것과 같이 곡선의 곡률은 속도의 미분으로 정의하는 것이 타당해 보이나, 속도는 곡선의 매개변수 표현에 따라 달라진다. 따라서 모든 정칙 곡선에 일관되게 적용할 수 있어서 곡률 계산 기준이 되는 매개변수를 결정해야 한다. 이 기준을 만족시키는 대표적인 방법이 곡선의 길이를 이용한 매개화이다.

정칙 평면 곡선 [math]F(t)[/math]에 대하여[br][center][math]s(t)=\int _{t_0}^t |F'(u)|du[/math][/center]를 [b]곡선 [math]F(t)[/math]의 길이[/b](arc length)라고 한다.

곡선[math]F(t)=(x(t),\ y(t))[/math]의 길이를 정의하는 과정은 다음과 같다. 곡선의 길이를 구하고자 하는 구간 [math][t_0,\ t][/math]의 [math]n[/math]등분하는 점들 중 [math]k[/math]번째 점의 좌표는 [math]t_k=t_0+k\frac{t-t_0}{n}[/math]이다. 곡선 위의 점 [math]F(t_k)=(x(t_k),\ y(t_k))[/math]를 [math]A_k[/math]라고 하면 곡선의 길이[math]s(t)[/math]는 [math]\sum_{k=0}^{n-1}\overline{A_k A_{k+1}}[/math]에 근사할 수 있다. [center][math]\begin{aligned}&\sum_{k=0}^{n-1}\overline{A_k A_{k+1}}\\[br]&=\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{\{x(t_{k+1})-x(t_k)\}^2+\{y(t_{k+1})-y(t_k)\}^2}\\[br]&=\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{\left\{\frac{x(t_{k+1})-x(t_k)}{t_{k+1}-t_k}\right\}^2+\left\{\frac{y(t_{k+1})-y(t_k)}{t_{k+1}-t_k}\right\}^2}\frac{t-t_0}{n}\end{aligned}[/math][/center]이므로 [math]n\to\infty[/math]일 때 [center][math]s(t)=\int_t_0^t\sqrt{\{x'(u)\}^2+\{y'(u)\}^2}du=\int _{t_0}^t |F'(u)|du[/math][/center]이다.

<미적분>에서 학습한 곡선의 길이는 평면 곡선의 길이의 특별한 경우다. 미분가능한 함수 [math]f(x)[/math]의 그래프 [math]y=f(x)[/math]는 좌표평면 위의 매개화된 곡선 [math]F(t)=(t,\ f(t))[/math]이다. [math]F'(t)=(1,\ f'(t))[/math], [math]|F'(t)|=\sqrt{1^2+\{f'(t)\}^2}[/math]이므로 점 [math](t_0,\ f(t_0))[/math]부터 점 [math](t,\ f(t))[/math]까지 곡선 [math]y=f(x)[/math]의 길이 [math]s(t)[/math]는 [center][math]s(t)=\int_{t_0}^t\sqrt{1^2+\{f'(u)\}^2}du=\int_t_0^t|F'(u)|du[/math][/center]이다.

매개화된 곡선 [math]F(t)[/math]의 다른 매개변수 표현 [math]\tilde{F}(s)[/math]을 [math]F(t)[/math]의 [b]재매개화 곡선[/b]이라고 한다. 이때, [math]F(t)[/math]의 매개변수 [math]t[/math]와 [math]\tilde{F}(s)[/math]의 매개변수 [math]s[/math] 사이에 일대일 대응이고 도함숫값이 [math]0[/math]이 되지 않는 미분가능한 함수 [math]\phi[/math]가 존재해야 한다. 매개변수를 변환하는 함수 [math]\phi[/math]가 일대일 대응이 아니면 곡선의 궤적이 일정하지 않고, [math]\phi[/math]의 도함숫값이 [math]0[/math]이 되는 경우 곡선의 정칙성이 보존되지 않을 수 있기 때문이다. 예를 들어, 직선 [math]x-y=0[/math]을 매개화한 두 곡선 [math]F(t)=(t,\ t),\ \tilde{F}(s)=(s^2,\ s^2)[/math]에 대하여 두 매개변수 사이의 사상은 [math]t(s)=s^2[/math]으로 일대일대응이 아니기 때문에 [math]\tilde{F}(s)[/math]는 [math]F(t)[/math]의 적절한 재매개화 곡선이 아니다. 다음 지오지브라 에플렛에서 두 매개변수 표현의 궤적이 다름을 확인할 수 있다.

정칙 곡선 [math]F(t)=(x(t),\ y(t))[/math]를 곡선의 길이 [math]s(t)=\int_t_0^t |F'(u)|du[/math]로 재매개화 할 수 있음을 확인해 보자. [math]t[/math]의 값이 증가함에 따라서 [math]s(t)[/math]의 값도 증가하므로 [math]s(t)[/math]는 닫힌 구간 [math][t_0,\ t_1][/math]에서 [math][0,\ s(t_1)][/math]까지의 일대일 대응이다. 따라서 선분의 길이 함수 [math]s(t)[/math]는 역함수 [math]t=\phi(s)[/math]를 갖는다. 또 [math]F(t)[/math]가 정칙 곡선이므로 [math]F'(t)[/math]는 연속이고 [math]0[/math]이 되지 않아, 길이 함수 [math]s(t)[/math]는 미분가능하고 [math]s'(t)[/math]는 [math]0[/math]이 되지 않는다. 따라서 역함수의 미분에 의해 [math]\phi(s)[/math]는 재매개화 사상이다. [math]\phi(s)[/math]로 재매개화된 곡선 [math]F(s)=F(\phi(s))=(x(\phi(s)),\ y(\phi(s)))[/math]를 [b]길이로 매개화된 함수[/b]라고 한다.

곡선의 길이 함수 [math]s(t)=\int_t_0^t|F'(u)|du[/math]를 구하기 위해 [math]|F'(u)|[/math]의 부정적분을 구하는 것은 쉽지 않다. 또 그 부정적분을 구한다고 하더라도 부정적분의 역함수를 구하는 것 또한 쉬운 일이 아니다. 따라서 이 절에서는 구체적인 계산은 생략하고 정칙 곡선과 길이로 매개화된 곡선에 관한 중요한 성질과 예시를 확인한다.

미분 가능한 곡선 [math]F(t)[/math]에 대하여 다음은 동치다.[br](1) 곡선 [math]F(t)[/math]는 정칙 곡선이다.[br](1) 곡선 [math]F(t)[/math]는 길이로 재매개화 가능하다.

길이로 매개화된 곡선 [math]F(s)[/math]의 속력 [math]|F'(s)|[/math]는 모든 [math]s[/math]에서 [math]1[/math]이다. [br][br]([i]증명 힌트[/i]: 곡선 [math]F(t)[/math]의 길이 함수를 [math]s(t)[/math], 함수 [math]s(t)[/math]의 역함수를 [math]t=\phi(s)[/math]라 할 때, 길이로 매개화된 곡선[math]F(s)=F(\phi(s))[/math]의 [math]s[/math]에 대한 미분 [math]\frac{dF}{ds}[/math]를 합성함수의 미분법과 역함수의 미분법을 이용해 계산한다.)