[size=85]Im 3-dimensionalen euklidischen Raum wird die xy-Ebene als [b]GAUSS[/b]'sche Zahlenebene [math]\mathbb{C}[/math] behandelt, die komplexen Zahlen [math]z\in\mathbb{C}[/math] werden stereographisch auf die Einheitskugel [math]x^2+y^2+z^2=1[/math] projiziert. [br]Der euklidische Vektorraum [math]V_3=\mathbb{R}_3[/math] wird [i][b]eingebettet[/b][/i] in den komplexen Geradenraum [math]\large\mathcal{G}[/math], [br]das folgende [i]Übertragungsprinzip[/i] soll diese Einbettung verdeutlichen: [/size][br][br][list][math] \left\{[br]\begin{array}{l |}[br]\infty \;:\mapsto \mathbf\vec{p}_{\infty}=i\cdot \mathbf\vec{e}_1+\mathbf\vec{e}_3 \\[br]\mbox{ } 0\, :\mapsto \mathbf\vec{p}_{0}=\frac{-1}{2}\cdot\left(i\cdot \mathbf\vec{e}_1-\mathbf\vec{e}_3\right) \\[br]V-G(0,\infty)\;:\mapsto \mathbf\vec{g}_{0}=i\cdot\mathbf\vec{e}_2[br]\end{array} \mbox{ }[br]z\mapsto \mathbf\vec{p}(z):=\frac{z^2}{2}\cdot \mathbf\vec{p}_{\infty}+z\cdot \mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0 \mbox{ mit }\mathbf\vec{e}_1=\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right),\;\mathbf\vec{e}_2=\left(\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right),\;\mathbf\vec{e}_3=\left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)[br]\right\}[/math][br][/list][size=85](mit [math]V-G[/math] ist "Verbindungsgerade" gemeint.)[br]Abgesehen von [math]\mathbf\vec{p}_{\infty}[/math] wird durch [math]z\mapsto \mathbf\vec{p}(z) [/math] jeder Berührgeradenvektor [math]\mathbf\vec{p}\in\large\mathcal{G} \mbox{ mit } \mathbf\vec{p}^2=0 [/math] erreicht, bei geeigneter komplexer Normierung.[br]Ist umgekehrt in [math]\large\mathcal{G} [/math] ein euklidisches KOS ausgezeichnet, so wird jedem Berührgeradenvektor [math]\mathbf\vec{p}\in\large\mathcal{G}\normalsize \mbox{ mit } \mathbf\vec{p}^2=0 [/math] durch [math]z=-\frac{\mathbf\vec{p}\bullet \mathbf\vec{g}_0}{\;\,\mathbf\vec{p}\bullet \mathbf\vec{p}_\infty}[/math] die zughörige komplexe Koordinate in der GAUSS'schen Zahlenebene zugeordnet. Die Berührgeradenvektoren [math]\mathbf\vec{p}(z)[/math] sind durch [math] \mathbf\vec{p}(z) \bullet \mathbf\vec{p}_\infty=1 [/math] normiert. Als komplexe Vektoren können die Berührgeradenvektoren [math]\mathbf\vec{p}\in\large\mathcal{G}\normalsize \mbox{ mit } \mathbf\vec{p}^2=0 [/math] als [i]Tangentialvektoren[/i] gedeutet werden: [br][list][*]Das Paar [math]\left(z,w\right)[/math] mit [math]z=-\frac{\mathbf\vec{p}\bullet \mathbf\vec{g}_0}{\;\,\mathbf\vec{p}\bullet \mathbf\vec{p}_\infty}\mbox{ und }w=\frac{1}{\mathbf\vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}_\infty}\mbox{ für }\mathbf\vec{p}\in\large\mathcal{G} [/math] beschreibt einen Punkt [math]z\in\mathbb{C}[/math] in der Möbiusebene mit [i]Richtungsvektor[/i] [math]w[/math].[br][/*][/list]Die Berührgeradenvektoren [math]\mathbf\vec{p}(z)[/math] eines euklidischen KOS besitzen also den Richtungsvektor [math]w=1+0\cdot i[/math].[br]Für zwei Berührgeradenvekoren [math]\mathbf\vec{p}_1,\,\mathbf\vec{p}_2\in\large\mathcal{G}\normalsize \mbox{ mit } \mathbf\vec{p}_i^2=0 \mbox{ und }\mathbf\vec{p}_1\bullet \mathbf\vec{p}_2=0[/math] ist das Verhältnis [math] \frac{w_1}{w_2}=\frac{\mathbf\vec{p}_1\bullet\mathbf\vec{p}_\infty}{\mathbf\vec{p}_2\bullet\mathbf\vec{p}_\infty} [/math] unabhängig von [math] \mathbf\vec{p}_\infty[/math] und daher eine Möbiusinvariante: mit [math]w_j=\rho_j\cdot e^{i\cdot\varphi_{j }},\;i=1,2\mbox{ ist }\frac{\rho_1}{\rho_2} [/math] das Längenverhältnis und [math] \varphi_1-\varphi_2 [/math] der Winkel zwischen den Richtungsvektoren.[/size][br][br][size=50][right]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/right][/size]