0

Пирамида

ya15061004, Jun 17, 2021

Данный GeoGebraBook предназначен для учащихся с 8-11 классы. Здесь подробно рассматривается одна из тем геометрии "Пирамида". В данном учебнике представлены такие материалы как: блок теории по данной теме, блок примеров и вопросов к ним, блок практических задач.

Пирамида
1. Пирамида
2. Свойства пирамиды
Правильная пирамида
1. Правильная пирамида
2. Правильная пирамида
Усеченная пирамида
1. Усеченная пирамида
2. Формулы
Тетраэдр
1. Тетраэдр
2. Математические характеристики тетраэдра
3. Сечение тетраэдра
4. Сечение тетраэдра
5. Постройте сечение
Сечение пирамиды
1. Виды сечения пирамиды
2. Сечение пирамиды
3. Сечение по видео
4. Сечение пирамиды
Задания
1. Задачи
2. Тест по теории
3. Тест на решение задач

Information

1.

Пирамида

В данном раздели мы рассмотрим основные определения связанные с пирамидами.

1. Пирамида
2. Свойства пирамиды

1.1.

Пирамида

Пирамида является конусом, основание которого — многоугольник. Поэтому можно дать такое определение: пирамидой называется конус, основание которого — многоугольник. Боковая поверхность пирамиды состоит из всех её образующих, которые соединяют вершину с точками на границе основания. Ясно, что боковая поверхность состоит из треугольников, имеющих общую точку — вершину пирамиды. Эти треугольники называются боковыми гранями, а их стороны, не лежащие в основании, — боковыми рёбрами пирамиды. Поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и её боковой поверхности. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т.е. основания и боковых граней). Площадью боковой поверхности пирамиды - сумма площадей ее боковых граней.

1.2.

2.

Правильная пирамида

1. Правильная пирамида
2. Правильная пирамида

2.1.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и все её боковые рёбра равны. Поэтому все боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники с вершиной в вершине пирамиды. (Напомним, что правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр не одно и то же. Правильный тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, но не наоборот!) Согласно данному определению правильной пирамиды о любой пирамиде по её внешнему виду можно судить, правильная она или нет: достаточно произвести необходимые измерения на её гранях. Ответ на этот вопрос мы получим, установив в следующей теореме характерное свойство правильной пирамиды. Теорема (о правильной пирамиде). Пирамида является правильной тогда и только тогда, когда её основание — правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания. Доказательство. Пусть Т — правильная пирамида с вершиной Р и основанием F. Опустим из точки Р перпендикуляр РО на плоскость α основания F. Возьмём любые две вершины А и В основания F и проведём отрезки О А и ОБ, получим прямоугольные треугольники РОА и РОВ. Эти треугольники равны, так как они имеют равные гипотенузы РА и РВ и общий катет РО. Следовательно, равны и другие их катеты, т. е. ОА = ОВ. Итак, проекция вершины Р пирамиды Т на плоскость а равноудалена от всех вершин правильного многоугольника F. Поэтому точка О является центром многоугольника F.

Итак, доказано, что вершина правильной пирамиды проектируется в центр её основания. Рассмотрим теперь пирамиду Т, основание которой — правильный многоугольник F и вершина которой Р проектируется в его центр — точку О. Снова берём две произвольные вершины А и В основания F и рассматриваем прямоугольные треугольники РОА и РОВ. Теперь в этих треугольниках общий катет РО и равные катеты О А и ОБ (поскольку О — центр правильного многоугольника F). Следовательно, опять ∠РОА = ∠РОВ. Поэтому РА = РВ. Значит, все боковые рёбра пирамиды Т равны, т. е. пирамида Т правильная. Доказанная теорема показывает, что правильную пирамиду можно определить как такую пирамиду, у которой основание — правильный многоугольник и вершина проектируется в его центр. Теперь ясно, как построить правильную пирамиду. Надо взять правильный многоугольник F и из его центра О провести какой-нибудь перпендикуляр ОР к плоскости многоугольника F. Точка Р будет вершиной правильной пирамиды, а многоугольник F — основанием этой пирамиды. У правильной n-угольной пирамиды n плоскостей симметрии. Они проходят через вершину пирамиды и оси симметрии её основания. При отражении в такой плоскости вершина пирамиды остаётся на месте, а основание совмещается само с собой. Поэтому и пирамида совмещается сама с собой.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

2.2.

3.

Усеченная пирамида

1. Усеченная пирамида
2. Формулы

3.1.

Усеченная пирамида

Усечённая пирамида получается так же, как получается усечённый конус из конуса: отсечением меньшей пирамиды плоскостью, параллельной основанию исходной пирамиды. Всё сказанное об усечённом конусе относится и к усечённым пирамидам.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды. Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции. Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды - правильные многоугольники, а боковые грани - равнобедренные трапеции. Высоты эти трапеций называются апофемами. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

3.2.

4.

Тетраэдр

1. Тетраэдр
2. Математические характеристики тетраэдра
3. Сечение тетраэдра
4. Сечение тетраэдра
5. Постройте сечение

4.1.

Тетраэдр

Тетраэдр – это треугольная пирамида, гранями которой являются 4 треугольника, каждый из которых может быть принят за основание. Является правильным (как на рисунке ниже) – если все ребра равны, т.е. все грани – это равносторонние треугольники.

В зависимости от видов треугольников и их расположения выделяют разные виды тетраэдров. В школьном курсе чаще говорят о следующих видах тетраэдра: - равногранный тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники; - правильная треугольная пирамида — основание — равносторонний треугольник, все боковые грани — одинаковые равнобедренные треугольники (Рис. 3); - правильный тетраэдр, у которого все четыре грани — равносторонние треугольники (Рис. 2).

Рис.2 Рис. 3 Свойство правильного тетраэдра: из определения правильного многогранника следует, что все рёбра тетраэдра имеют равную длину, а грани — равную площадь.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

5.

Сечение пирамиды

1. Виды сечения пирамиды
2. Сечение пирамиды
3. Сечение по видео
4. Сечение пирамиды

5.1.

Виды сечения пирамиды

1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через вершину фигуры и диагональ основания. У четырехугольной пирамиды таких сечения два (по одному на каждую диагональ):

2. Если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды, она делит ее на две фигуры: подобную пирамиду (считая от вершины) и усеченную пирамиду (считая от основания). Сечением является подобный основанию многоугольник.

На данном рисунке:

пирамиды EABCD и EA1B1C1D1 подобны;
четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 также подобны.

Изучите представленное ниже видео.

Напишите правила построения сечения.

5.2.

5.3.

5.4.

6.

Задания

1. Задачи
2. Тест по теории
3. Тест на решение задач

6.1.

Задачи

№1

Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

№2

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 45 градусов. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

№3

Дана пирамида SABCD, вершиной которой является точка S, в основании лежит ромб, а высота SO пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол ASO равен углу SBO, а диагонали основания равны 6 и 24.

№4

В пирамиде SABC высота SO падает в точку пересечения медиан основания. Треугольник ABC равнобедренный, боковые стороны равны 10, а основание AC=18. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол между боковым ребром SB и плоскостью основания равен 45∘.

№5

В основании пирамиды SABCD лежит равнобедренная трапеция ABCD, AD – большее основание. Высота пирамиды падает на отрезок BC. Апофема грани ASD равна 10 и образует угол 45∘ с плоскостью трапеции. Найдите объем пирамиды, если средняя линия трапеции равна 9.

0

Пирамида

Table of Contents

Information

Пирамида

Пирамида

Пирамида

Правильная пирамида

Правильная пирамида

Правильная пирамида

Усеченная пирамида

Усеченная пирамида

Усеченная пирамида

Тетраэдр

Тетраэдр

Тетраэдр

Сечение пирамиды

Виды сечения пирамиды

Виды сечения пирамиды

Задания

Задачи

№1

№2

№3

№4

№5