Herleitung der allgemeinen Lösungsformel

Ziehe die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge um von der allgemeinen Form auf die Scheitelpunktform zu kommen.

Schau dir die folgenden Rechenschritte an und entscheide, wie umgeformt wurde, um auf die untere Gleichung zu kommen.

Quadratische Ergänzung und umformen auf die[br]Scheitelpunktform ergeben: [br][br][math]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0[/math][br][br][math]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}[/math][br][br]Um die Formel nach x auflösen zu können,…[br]

wird auf beiden Seiten [math]+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}[/math] gerechnet. wird auf der linken Seite [math]-\left(\frac{b}{2a}\right)^2[/math] gerechnet. wird auf der rechten Seite [math]+\frac{c}{a}[/math] gerechnet.

[math]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}[/math][br][br][math]x_{1,2}+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}[/math][br][br]Weiter wird...

die Wurzel von beiden Seiten der Gleichung gezogen. die Wurzel nur auf der linken Seite der Gleichung gezogen. die Wurzel nur auf der rechten Seite der Gleichung gezogen.

Dabei...

entstehen zwei Lösungen [math]x_1,x_2[/math] (dafür schreibt man [math]x_{1,2}[/math]):[br][math]+x_1[/math] und [math]-x_2[/math] Es entstehen zwei Lösungen [math]x_1,x_2[/math] (dafür schreibt man [math]x_{1,2}[/math]), durch die positive und die negative Wurzel auf der rechten Seite. entsteht die Lösung unter der Wurzel.

[math][/math]Anschließend wird unter der Wurzel auf der rechten Seite umgeformt:[br][br][math]x_{1,2}+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}[/math][br][br][math]x_{1,2}+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}[/math][br][br]Zunächst wird...

das Quadrat bei [math]\left(\frac{b}{2a}\right)^2[/math] ausgerechnet. [math]-\frac{c}{a}[/math] gerechnet. Der Bruch gekürzt.

[math]x_{1,2}+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}[/math][br][br][math]x_{1,2}+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4a\cdot c}{4a^2}}[/math][br][br][math]x_{1,2}+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}[/math][br][br]Dann...

werden beide Brüche auf den gleichen Nenner gebracht ([math]4a^2[/math]) und zu einem Bruch zusammengezogen. wird die Wurzel aufgelöst. werden beide Brüche gekürzt.

[math]x_{1,2}+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}[/math][br][br][math]x_{1,2}+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}[/math][br][br][math]x_{1,2}+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][br]In diesem Rechenschritt...

Wird die Wurzel von [math]\sqrt{b^2-4ac}[/math] berechnet. wird ein Rechengesetz zum Vereinfachen von Wurzeltermen angewandt und die Wurzel des Nenners gezogen. Wird der Bruch gekürzt.

Bald sind wir an unserem Ziel, nämlich [math]x_{1,2}[/math] auf der linken Seite alleine stehen zu haben.[br][br][math]x_{1,2}+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][br][math]x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}[/math][br][br]Dazu...

wird [math]\frac{b}{2a}[/math] auf beiden Seiten der Gleichung addiert. wird [math]\frac{b}{2a}[/math] auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert. wird [math]x_{1,2}[/math] addiert.

Umformen der rechten Seite:[br][br][math]x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}[/math][br][br][math]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br]Man erhält die endgültige Lösungsformel...

indem man die Brüche auf der rechten Seite auf einem Bruch zusammenfasst. indem der erste Bruch umgewandelt und gekürzt wird. indem man den zweiten Bruch auf der rechten Seite der Gleichung weg lässt.

Lösungsformel:

[b]Die beiden Lösungen sind [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math][br][/b][br][math]x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][br][math]x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][br][br]

Beispiel

Finde die Lösungen der Gleichung [math]3x^2-4x+0,1=0[/math][br][br]Zunächst: Für was steht hier a, b und c?

[math]a=3[/math][br][math]b=4[/math][br][math]c=0,1[/math][br] [math]a=-3[/math][br][math]b=-4[/math][br][math]c=0,1[/math][br] [math]a=3[/math][br][math]b=-4[/math][br][math]c=0,1[/math][br]

Berechne [b]beide[/b] Lösungen mithilfe der Lösungsformel.

[math]x_1\approx-2,143[/math][br][math]x_2\approx3,134[/math] [math]x_1\approx0,234[/math][br][math]x_2\approx1,453[/math][br] [math]x_1\approx0,025[/math][br][math]x_2\approx1,308[/math][br]

Herleitung der allgemeinen Lösungsformel

Ziehe die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge um von der allgemeinen Form auf die Scheitelpunktform zu kommen.

Schau dir die folgenden Rechenschritte an und entscheide, wie umgeformt wurde, um auf die untere Gleichung zu kommen.

Lösungsformel:

Beispiel

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