Wenn eine Funktionsgleichung für eine Wachstums- oder Zerfallsfunktion gesucht ist, dann muss zuerst aus der Analyse des Textes herausgefunden werden, ob es sich um einen[br][list][*]linearen[/*][*]exponentiellen[/*][*]beschränkten oder[/*][*]logistischen[/*][/list]Vorgang handelt.[br]Je nachdem haben wir es als "Funktionsgleichungsprototyp" mit einer anderen Funktionsgleichung zu tun:[br][b]Linear[/b]: [math]f(t)=k\cdot t+f_0[/math][br][b]Exponentiell[/b]: [math]f(t)=f_0\cdot e^{k\cdot t}[/math] oder [math]f(t)=f_0\cdot a^t[/math] [br][b]Beschränkt[/b]: [math]f(t)=G+(f_0-G)\cdot e^{-k\cdot t}[/math] [br][b]Logistisch[/b]: [math]f(t)=\frac{f_0\cdot G}{f_0+(G-f_0)\cdot e^{-G\cdot k\cdot t}}=\frac{G}{1+(\frac G{f_0}-1)\cdot e^{-G\cdot k\cdot t}}[/math][br][br]

Es müssen [b]genau so viel[/b] Bedingungen aus dem Text gelesen werden, wie es unbekannte Parameter in einer Gleichung gibt. Bei den Prototypen für lineare und exponentielle Vorgänge reichen zwei Bedingungen. Im Falle von beschränkten oder logistischen Wachstums- oder Zerfallsvorgängen müssen drei Prameter berechnet werden, also braucht es drei Bedingungen.[br][br]Wenn im Text ein Startwert oder eine Grenze gegeben sind, dann sollte man diese Zahlen gleich in den Funktionsprototyp einsetzen und auf diese Weise einen Prototyp mit weniger unbekannten Parametern erhalten. Das macht im Weiteren die Rechnung leichter.[br][br]In der Regel besteht eine Bedingung aus einem Punkt auf dem Funktionsgraphen.[br][br][b]Beispiel für beschränkten Zerfall: "Abkühlen eines warmen Essens": [/b][br][i][color=#38761d]"Die Raumtermperatur ist[/color] [math]\fgcolor{#38761d}{T=19^{\circ}C}[/math][color=#38761d]. Nach [/color][math]\fgcolor{#38761d}{2}[/math] [color=#38761d]Minuten ist das Essen noch [/color] [math]\fgcolor{#38761d}{85^{\circ}C}[/math] [color=#38761d]warm. Als es nach [/color][math]\fgcolor{#38761d}{7}[/math] [color=#38761d]Minuten serviert wird, beträgt die Temperatur[/color] [math]\fgcolor{#38761d}{70^{\circ}C}[/math]"[/i][br][br]Hier handelt es sich um einen beschränkten Zerfall. Die Essenstemperatur nähert sich exponentiell der Raumtemperatur als Grenze. Der Prototyp der Funktionsgleichung lautet also [math]f(t)=G+(f_0-G)\cdot e^{-k\cdot t}[/math]. Die Grenze von [math]19^{\circ}C[/math] kann in diese Gleichung gleich eingesetzt werden: [math]f(t)=19+(f_0-19)\cdot e^{-k\cdot t}[/math][br]

Nun sind nur noch die Parameter [math]f_0[/math] und [math]k[/math] zu bestimmen. Für das Berechnen dieser beiden Parameter reichen die beiden zusätzlichen Angaben, die im Text stehen: [i][color=#38761d]Nach[/color] [math]2[/math] [color=#38761d]Minuten ist das Essen noch [/color] [math]85^{\circ}C[/math] [color=#38761d]warm. Als es nach [/color][math]7[/math] [color=#38761d]Minuten serviert wird, beträgt die Temperatur [/color][math]\fgcolor{#38761d}{70^{\circ}C}[/math]"[/i] Mit dem HP-Prime als CAS wird nun folgendermaßen vorgegangen:[br][list=1][*]Speichern Sie [math]\fgcolor{#0000ff}{19+(f0-19)\cdot e^{-k\cdot x}}[/math] als [math]\fgcolor{#0000ff}{f(x)}[/math] ab[br][/*][*]Lösen sie das Gleichungssystem mit [color=#0000ff]solve({f(2)=85,f(7)=70},{f0,k})[/color][/*][/list][br]Sie erhalten dann die Ergebnisse [math]\fgcolor{#0000ff}{f_0=92,17^{\circ}C}[/math] und [math]\fgcolor{#0000ff}{k\approx0,0516 \frac 1{min}}[/math][br][br]Also lautet die gesuchte Gleichung [math]f(t)=19+(92,17-19)\cdot e^{-0,0516\cdot t}=\underline{\underline{19+73,17\cdot e^{-0,0516\cdot t}}}[/math]

Es gibt viele Fälle, in denen eine Funktionssynthese nicht möglich ist, weil es keine entsprechende Funktion gibt, die die gegebenen Bedingungen erfüllen kann. So wird es zum Beispiel nicht möglich sein, eine Lösung für exponentiellen Zerfall zu finden, wenn eine y-Koordinate eines gegebenen Punktes negativ ist. Denn die Exponentialfunktion [math]e^x[/math] hat keine negativen Funktionswerte.

Wenn Gleichungen zu Exponentialfunktionen gelöst werden sollen, dann muss statt der solve()- oft besser die fsolve()-Anweisung verwendet werden. Aber auch diese bietet Überraschungen:[br][br]Ein Kaffee hat eine Minute nach dem Einschenken eine Temperatur von 70°C. Nach 5 Mnuten beträgt die Temperatur 40°C und nach 10 Minuten sind es 25°C.[br][br]Lösung mit dem HP_Prime:[br]Speichern Sie den Funktionsprototyp ab: [math]\fgcolor{#0000FF}\mathbf{g+(f0-g)*e^{-k*x} \rhd f(x)}[/math][br]Nun müssen die drei Punkte [math](1|70)[/math], [math](5|40)[/math] und [math](10|25)[/math] in den Prototyp eingesetzt werden und die drei Parameter g, f0 und k berechnet werden:[br][math]\fgcolor{#0000FF}\mathbf{ fsolve(\lbrace f(1)=70,f(5)=40,f(10)=25\rbrace ,\lbrace f0,g,k\rbrace)}[/math][br]Das führt zu dem Ergebnis: [math]f_0=82,3[/math] , [math]G=16,7[/math] und [math]k=0,207[/math][br]Also ist [math]f(x)=16,7+(82,3-16,7)\cdot e^{-0,207\cdot x}[/math][br][br][b][color=#980000]Aber Achtung[/color][/b]: Tatsächlich scheint in der Parameterliste am Ende der fsolve()-Anweisung die Variable f0 am Anfang stehen zu müssen. Anders erhält man keine Lösungen. Sollte es als Antwort ein "undef" geben, lohnt es sich also die Reihenfolge der Parameter am Ende der fsolve()-Anweisung zu variieren.