La démonstration suivante du Théorème de Pythagore est présentée par Euclide dans son ouvrage [b]Les Eléments[/b] publié vers 300 avant JC.[quote][br][b]Livre I[sup]er[/sup] proposition 47 : [/b]Dans les triangles rectangles, le carré du côté opposé à l'angle droit est égal aux carrés des côtés de l'angle droit[/quote]C'est la plus ancienne preuve écrite du Théorème de Pythagore dont on ait la trace. Elle fut publiée près de deux siècles après la mort de Pythagore.

Cette démonstration à base de triangles semblables est basée sur la propriété :[br][quote]L'aire d'un rectangle ne varie pas si on le déforme en déplaçant un sommet le long d'une droite parallèle au côté opposé car sa hauteur issue de ce sommet est constante.[/quote][br]

On trace, sur de la figure composé du triangle rectangle et des carrés construits sur ses cotés, les segments constituant ce qui est communément appelé le "Moulin à vent".

Ici les segments :[br][list][*][EB] et [AG] relatifs au carré construit sur [AC].[/*][*][CD] et [AH] relatifs au carré construit sur [AB].[/*][*][AK] relatif au carré construit sur l'hypoténuse [CB].[br][/*][/list]

Animation du schéma :[br][list][*]Points "ronds" : Modification du triangle rectangle ABC[/*][*]Points "losanges" : Visualisation des éléments de la démonstration[br][/*][/list]

Les triangles ECB et ACG sont semblables car s'obtiennent l'un de l'autre par une simple rotation de 90° autour du point C. Ils ont donc la même aire :[br][math]Aire(ECB)=Aire(ACG)[/math][br][br]Or les triangles ECB et ECA ont la même aire qui est la moitié de l'aire du carré construit sur [AC].[br]Nous avons donc :[br][math]Aire(ECB)=Aire(ECA)=\frac{AC^2}{2}[/math][br][br]D'autre part, les triangles ACG et PCG ont la même aire.[br]Nous avons donc finalement :[br][math]Aire(PCG)=Aire(ACG)=Aire(ECB)=\frac{AC^2}{2}[/math][br]

Les triangles DBC et ABH sont semblables car s'obtiennent l'un de l'autre par une simple rotation de 90° autour du point B.[br][br]Par un raisonnement en tout point analogue au précédent nous obtenons :[br][math]Aire(PBH)=Aire(ABH)=Aire(DBC)=\frac{AB^2}{2}[/math][br]

Les triangles PBH et PCH couvrent exactement la moitié du carré construit sur [BC].[br]Nous avons donc :[br][math]Aire(PBH)+Aire(PGC)=\frac{BC^2}{2}[/math][br][br]D'après ce qui précède, nous avons donc :[br][math]\frac{AB^2}{2}+\frac{AC^2}{2}=\frac{BC^2}{2}[/math][br][br]Ce qui est équivalent à :[br][math]AB^2+AC^2=BC^2[/math][br][br][color=#cc0000]CQFD[/color] ! ([color=#cc0000]C[/color]e [color=#cc0000]Q[/color]u'il [color=#cc0000]F[/color]allait [color=#cc0000]D[/color]émontrer)