[size=150][b][color=#FFA252]Reihenübersicht Modul 3 [/color][/b][/size][br]Die folgende Reihenübersicht soll Ihnen einen Einblick in die Materialien dieses GeoGebra-Buchs geben und Anhaltspunkte für die Strukturierung Ihres Unterrichts mit diesen Materialien bieten.[br][url=https://mategnu.de/m/3/rp3.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/rp3.png[/img][/url]

[size=150][b][color=#FFA252]Ansatz der Unterrichtsreihe [/color][/b][/size][br]Fokus dieser Sequenz ist die Einführung von [b]Vektoren als n-Tupel[/b] und erst nach Erarbeitung von Rechenoperationen die graphische Deutung sowohl als Punkt als auch als Pfeil.[br][br]Zweiter Schwerpunkt sind [b]Matrizen[/b], die unabhängig davon, ob Wahlgebiet A1 oder A2 festgelegt werden, [b]verpflichtend im Leistungskurs[/b] zu unterrichten sind. Grundlegende Inhalte dieses Themas werden durch die Modellierung von Übergangsprozessen auch für Grundkurse in [url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#chapter/1102840][color=#095EBC]Kapitel IV[/color][/url] geeignet erarbeitet.

[b][color=#FFA252]Schwierigkeiten bei Vektoren[/color][/b][br]Vektoren als Pfeilklassen erschweren die Definition von Rechenoperationen, da IMMER auch noch die Unabhängigkeit von der Wahl der Repräsentanten gezeigt werden muss. Ferner ist die Einführung eines Ortsvektors, der nicht frei verschiebbar ist, nicht nachvollziehbar. [br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/pfeilklassenmodell_probleme_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/pfeilklassenmodell_probleme.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=23][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]

[b][color=#FFA252]Skalarprodukt[/color][/b][br]Das [b]Skalarprodukt[/b] lässt sich mit dem n-Tupel-Ansatz sehr anschaulich erarbeiten:[br]Es ist unmittelbar klar, wie aus den Vektoren Einkaufs- bzw. Stückliste und Preisliste der Gesamtpreis berechnet werden muss (s. Bsp. Kekse backen). Auch der Verständnisanker Farbvektoren ermöglicht über die Berechnung eines Graustufenwerts (z.B. für den Schwarz-Weiß-Druck eines Bildes) ein sinnhafte Definition des Skalarprodukts.[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/skalarprodukt_arithmetischer_zugang_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/skalarprodukt_arithmetischer_zugang.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=56][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url]

[b][color=#FFA252]Vektoren als n-Tupel[/color][/b][br]Aus mathematischer Sicht ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums, der als solches bestimmten Axiomen genügt. Deshalb ist die [b]Definition eines Vektors als n-Tupels, der geometrisch als Pfeil oder auch als Punkt gedeutet werden kann[/b], mathematisch anschlussfähig und korrekt. (Details s. Malle 2005 Von Koordinaten zu Vektoren, Malle 2005 Neue Wege in der Vektorgeometrie). In der Handreichung werden Vektoren im Kontext des rgb-Farbmodells (aus der Computergrafik) eingeführt, als Verständnisanker dient der rgb-Farbvektor mit den Komponenten rot, grün, blau.[br]Mit weiteren Kontexten (Zutaten Plätzchenrezept, Mobilität und CO2-Emission, Instagram-Algorithmus) wird der Vektorbegriff abstrahiert.[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektoren_als_n-tupel_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektoren_als_n-tupel.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=27][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]

[b][color=#FFA252]Geometrische Deutung von Vektoren[/color][/b][br]Anschlussfähig an die Veranschaulichung von Zahlen an der Zahlengerade als Punkte oder Änderungspfeile werden Vektoren geometrisch als (Zustands-)[b]Punkte[/b] und (Änderungs-)[b]Pfeile[/b] gedeutet.[br]Dadurch wird das Ortsvektorkonzept vermieden, das mathematisch nicht anschlussfähig ist und bei Lernenden nachweislich zu Verständnisproblemen führt (z.B: Wittmann 2003; Malle 2005).[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektor_punktdeutung_pfeildeutung_1_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/vektor_punktdeutung_pfeildeutung_1.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=36][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d17460cc-2a85-4897-b0aa-b46400edb181][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]

[b][color=#FFA252]Geometrische Deutung des Skalarprodukts[/color][/b][br]Bei der geometrischen Deutung werden folgende Eigenschaften des Skalarprodukts erarbeitet: [list][*]Verschiebung der Pfeile verändert Ergebnis nicht[/*][*]für parallele Pfeile: Ergebnis ist Produkt der Beträge (Vorzeichen)[/*][*]für orthogonale Pfeile: Ergebnis ist Null[/*][*]für eingeschlossenen Winkel [math]0°<\alpha (\vec{v},\vec{w})<90°[/math]: Ergebnis positiv[/*][*]für eingeschlossenen Winkel [math]90°<\alpha (\vec{v},\vec{w})<180°[/math]: Ergebnis negativ[/*][/list]sowie die Projektionsvorstellung: alle Vektoren [math]\vec{v_i}[/math], für die das Skalarprodukt mit [math]\vec{u}[/math] denselben Wert hat, haben denselben Projektionsvektor [math]\vec{v_u}[/math] auf [math]\vec{u}[/math]. Zeichnet man alle Vektoren [math]\vec{v_i}[/math] und [math]\vec{u}[/math] von einem Punkt ausgehend in ein Koordinatensystem als Pfeile ein, liegen alle Spitzen der Pfeile [math]\vec{v_i}[/math] auf einer Geraden senkrecht zu [math]\vec{u}[/math].[br](Details s. Schacht 2014 Ganz schön verMESSEN, Filler 2011 Elementare Lineare Algebra).[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/skalarprodukt_im_kontext_emissionsziele_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/skalarprodukt_im_kontext_emissionsziele.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=84][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url]

[b][color=#FFA252]Abstandsbegriff[/color][/b][br]Im Wahlgebiet A2 Geraden und Ebenen im Raum werden auch Lagebeziehungen und Abstände thematisiert. Zum [b]Abstand[/b] lassen sich drei verschiedenen Grundvorstellungen identifizieren: Abstand als [list][*]kürzeste Verbindung[/*][*]orthogonale Verbindung[/*][*]Radius einer Berührkugel bzw. eines Berührradius.[/*][/list]Alle drei Vorstellungen sollten ausgebildet werden, um geometrische Probleme flexibel lösen zu können.[br]Es werden unterschiedliche Herangehensweisen an die Problemstellung Abstand Punkt Gerade in räumlichen Koordinaten aufgezeigt, die mit SuS produktiv zur Auseinandersetzung genutzt werden können. (Details s. Frohn & Salle 2020 Wie finde ich den richtigen Abstand?)[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/abstandsbegriff_grundvorstellungen_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/abstandsbegriff_grundvorstellungen.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Verstaendnisorientierung_in_der_Analytischen_Geometrie.pdf#page=90][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url]

[b][color=#FFA252]Matrizen[/color][/b][br]Einen ersten Zugang zu Matrizen - egal welcher Vertiefungsbereich gewählt wird - erhalten die Lernenden im Kapitel lineare Gleichungssysteme, bei denen zum Gauß-Algorithmus die erweiterte Koeffizientenmatrix eingeführt wird und als weitere Lösungsalternative die Matrix-Vektor-Gleichung.[br]Im Vertiefungsbereich dienen Matrizen zur Modellierung von Übergangsprozessen. Am Beispiel von der Kundenwanderung zwischen zwei Streamingdienst-Anbietern werden die zentralen Schritte und Darstellungen zur Modellierung erarbeitet und die Matrizenmultiplikation von den SuS entdeckt.[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_uebergangstabelle_uebergangsgraph_500.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_3/streaming-dienste_uebergangstabelle_uebergangsgraph.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url] [url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2026/MaTeGnu_K1_M3_2026_Matrizen_und_Modellierung.pdf#page=6][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img][/url] [url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=d954adec-8769-4c6f-88de-b46000dc3184][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url]

[size=150][b][color=#FFA252]Link zu den Fortbildungsmaterialien zu Grundvorstellungen von Modul 3[/color][/b][/size][br]Link zu der Aufzeichnung und den Folien im [url=https://lms2.schulcampus-rlp.de/PL-0003/course/view.php?id=263§ion=4]Schulcampus [/url](Anmeldung erforderlich)

Hinweise zum Einsatz von GeoGebra im Unterricht (für alle Module identisch) s. Material [url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/k9szjqkw]https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/k9szjqkw[/url])