Visualizzare una funzione spesso aiuta a comprenderne significato e caratteristiche. Qui sotto vediamo una applet che mostra in modo molto diretto come è fatta la funzione. Riesci a riprodurle? Puoi anche provare a costruire l'analoga animazione per la funzione coseno (mostrata sotto).

[color=#ff0000][b]SFIDA:[/b][/color] riesci a costruire un'analoga app per la funzione tangente?

[size=150][color=#ff0000]I PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE[/color][/size][br]I problemi di ottimizzazione richiedono lo studio di una situazione e la ricerca di una configurazione "ottimale" che solitamente è legata al raggiungimento di un valore minimo o massimo per un certo parametro. [br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO: [/b]In un giardino rettangolare 9 metri per 6 metri vuoi costruire una zona piastrellata triangolare tale per cui:[br][/color][list=1][*][color=#0000ff]Un vertice è posto esattamente alla metà di uno dei due lati corti[/color][/*][*][color=#0000ff]Un secondo vertice è su uno dei lati lunghi, in una posizione arbitraria che puoi decidere tu, ma deve distare [b]almeno un metro[/b] dal lato corto opposto a quello dove hai collocato il primo vertice.[/color][/*][*][color=#0000ff]Il terzo vertice è sul lato corto opposto a quello del primo vertice. La sua distanza dal lato lungo su cui giace il secondo vertice deve essere 2/3 della distanza del secondo vertice dal lato corto su cui giace il terzo.[/color][/*][/list][color=#0000ff]Trova la configurazione che rende MASSIMA l'area della zona piastrellata.[br][br][/color]Visualizzare il problema può aiutarci molto a comprendere la situazione ed a individuare un percorso per risolverlo.[br][br][b][color=#ff0000]FASE 1:[/color][/b] rappresenta con Geogebra il giardino, poi aggiungi tre punti come indicato dal problema e con l'istruzione POLIGONO uniscili per creare la zona piastrellata. [br]- Certi punti dovranno essere [b]fissi[/b]. [br]- Altri [b]dovranno potersi muovere[/b], per permetterti di visualizzare le varie configurazioni. A questo scopo crea un parametro che potrai poi cambiare tramite uno slider, ed usalo per esprimere alcune di queste coordinate.[br]- La posizione di altri punti, infine, [b]dipenderanno posizione dei punti precedenti[/b], potrai sfruttare lo stesso parametro per posizionare il punto correttamente.[br][br]Dovresti ottenere qualcosa di simile mostrato sotto - ignora per il momento lo slider [b]F[sub]ase[/sub][/b].

In questo caso la configurazione dipenderà dal valore di [b][color=#0000ff]k[/color][/b], che è il [b][color=#0000ff]parametro del problema[/color][/b] dal quale dipenderà la configurazione ottimale (cioè quella con area massima del triangolo grigio).[br][br][b]ATTENZIONE[/b]: lo slider di k NON potrà muoversi tra valori qualsiasi: [b][color=#ff0000]quale è l'intervallo di validità di k per cui si ottengono configurazioni dotate di senso?[/color][/b] Imposta di conseguenza il tuo slider.[br][br][b][color=#ff0000][size=200]FASE 2:[/size][/color][/b] Ad ogni elemento di Geogebra è associato un valore, misura di una sua caratteristica. Ad esempio ad un punto è associata la coppia di coordinate, ad un segmento la lunghezza e ad un poligono la sua area. [b]Sfrutta questa proprietà per creare[/b][br]- [b]un testo che mostri il "valore" del tuo poligono grigio, cioè la sua area[/b]. Per fare questo devi inserire nel testo un OGGETTO di geogebra, attraverso l'opportuno simbolo.[br]- [b]un punto che mostri come l'area del tuo poligono dipende dal tuo parametro[/b]: per il tuo punto metterai il valore del parametro come coordinata x (cioè l'input, la variabile indipendente che decidi tu) e l'area come coordinata y (cioè l'output, la variabile che dipende dalla x). In questo modo vedrai la funzione che mostra la dipendenza dell'area dal valore del parametro, cioè la funzione [math]\Large{A=A(k)}[/math]. [b][color=#0000ff]Questa funzione è detta funzione obiettivo, perchè descrive come si comporta la grandezza che è oggetto ed obiettivo del nostro studio[/color][/b]. Se attiverai la tracciabilità del punto potrai anche disegnare questa funzione.[br][br]Dovresti ottenere qualcosa di simile a quanto si vede nell'animazione qui sopra quando lo slider F[sub]ase[/sub] è in posizione 2.[br][br][b]A questo punto puoi avere un'idea almeno indicativa del valore massimo possibile dell'area piastrellata e delle corrispondenti posizioni dei suoi vertici? [br][br]Quale è il valore minimo possibile di tale area? Con quale configurazione si ottiene?[/b][br][br][b][color=#ff0000][size=200]FASE 3:[/size][/color][/b] Osservando il lavoro che hai fatto ti accorgerai che puoi [b]calcolare l'espressione che ti permette di calcolare l'area piastrellata in funzione del valore del parametro [/b](se proprio sei bloccato calcola l'area verde e poi...). [br]A questo punto [b]aggiungi alla tua animazione il grafico di questa espressione[/b]. Coincide con quella disegnata dal punto mobile che hai creato alla fase precedente? Le tue conoscenze di geometria analitica ti permettono di calcolare le coordinate del punto corrispondente all'area massima? Che cosa indicano?[br][br]Come avrai intuito, il risultato di questo lavoro corrisponde indicativamente a quanto ti mostra lo slider F[sub]ase[/sub] è in posizione 3.[br]

[b][color=#0000ff]ESEMPIO 2 (Ora prova tu)[br]Su un'asta di misura L si vogliono costruire in sequenza un cartellone a forma di triangolo equilatero ed uno quadrato. Come deve essere utilizzata la lunghezza a disposizione se si vuole che l'area totale dei cartelloni sia MINIMA? Quando si otterrà l'area MASSIMA?[br][br][/color][/b]Prova a ripercorrere le tre fasi mostrate nell'esempio precedente. Fissa tu la lunghezza dell'asta a tuo piacimento. Che risultato otteniamo se manteniamo generica la lunghezza dell'asta?

[b]Da quanto si è imparato vedendo e toccando con mano si può provare a proseguire da soli.[br][/b]Il seguente problema di ottimizzazione NON è geometrico, quindi non avremo il supporto visivo per ragionarci sopra. I primi due esempi ci hanno fornito una procedura logica che ci permette di raggiungere l'obiettivo?[br][b][br][color=#0000ff]ESEMPIO 3[br][/color][/b][color=#0000ff]Un teatro ha 400 posti e vende regolarmente tutti i biglietti. Il prezzo del biglietto è di 12€ a persona. Per cercare di guadagnare un po' di più, il teatro pensa di aumentare il prezzo del biglietto, ma un'indagine di mercato indica che ogni tre euro di aumento porterà alla rinuncia di 10 spettatori, che non verranno più.[br][br]Qual è la configurazione che porta al guadagno massimo da parte del teatro? Quanti spettatori verranno ad ogni spettacolo?[/color][br][br]aiutati perseguendo questi due obiettivi intermedi [qualcuno riterrà più semplice partire dal 1) altri dal 2)]: [br]1) definire la funzione obiettivo che permette di calcolare la grandezza che vuoi massimizzare.[br]2) definire il parametro che ti permette di calcolare la situazione in una configurazione piuttosto che in un'altra.[br][br][domanda a parte: quale è lo scopo di un teatro e quale è la sua vera configurazione [i]ottimale[/i] secondo te? quella che porta al guadagno massimo o...?]