Soit un triangle sphérique [math]\triangle ABC[/math]. Par définition, on sait que ses côtés sont compris dans l'intervalle [math]]0\degree; 180\degree[[/math]. Bêtement, l'on trouve que la somme de ses côtés se trouve dans l'intervalle[br][br][center][math]0\degree< a + b + c < 180\degree + 180\degree + 180\degree = 540\degree[/math][/center]Mais l'on peut faire mieux.

Les trois sommets [math]A[/math], [math]B[/math] et [math]C[/math] avec le centre [math]O[/math] de la sphère forment un tétraèdre (voir l'appliquette ci-dessous). Puisque les côtés du triangle sphérique sont de même mesure que les angles correspondant au centre de la sphère, les côtés du triangle sphérique sont de même mesure que les trois angles au sommet [math]O[/math] du tétraèdre.

Comme on le voit sur l'appliquette ci-dessous, si l'on écrase le point [math]O[/math] sur le plan [math]ABC[/math] et que l'on regarde ce plan de haut, on constate que :[br][br][center][math]\underbrace{m\angle BOC}_{=\ \textcolor{olivegreen}{a}}+\underbrace{m\angle AOC}_{=\ \textcolor{blue}{b}}+\underbrace{m\angle AOB}_{=\ \textcolor{red}{c}} = 360\degree[/math][/center]

Or, à mesure que s'élève le point [math]O[/math] au-dessus du plan, les angles [math]\angle BOC[/math], [math]\angle AOC[/math] et [math]\angle AOB[/math] deviennent de plus en plus petits. On a donc, pour tout tétraèdre, que[br][br][center][math]\underbrace{m\angle BOC}_{=\ \textcolor{olivegreen}{a}}+\underbrace{m\angle AOC}_{=\ \textcolor{blue}{b}}+\underbrace{m\angle AOB}_{=\ \textcolor{red}{c}} < 360\degree[/math][/center]Puisque les mesures de ces angles correspondent aux longueurs des côtés de notre triangle sphérique, on conclut que[br][center][math]\boxed{0\degree < \textcolor{olivegreen}{a}+\textcolor{blue}{b}+\textcolor{red}{c} < 360\degree}[/math][/center]

C'est donc dire qu'on ne peut recouvrir un grand cercle en mettant bout à bout les trois côtés d'un triangle sphérique (les trois côtés ensemble ne complètent jamais un grand cercle).[br][br]Par contre, comme le montre l'appliquette ci-dessous, on peut construire un triangle sphérique dont la somme des côtés s'approche aussi près que l'on veut de [math]360\degree[/math]. Pour ce faire, il suffit d'éloigner l'un des sommets d'un triangle sphérique des deux autres sommets en le faisant s'approcher de plus en plus du grand cercle passant par ces deux autres sommets. On construira un triangle sphérique dont la somme des côtés s'approchera de plus en plus de [math]360\degree[/math], car le triangle sphérique s'approchera de plus en plus d'un grand cercle.