Satz von Thales
Den Satz von Thales hat Thales von Milet vor etwa 2500 Jahren beschrieben und bewiesen. In diesem Geogebrabuch wiederholen wir das nötige Vorwissen, so dass du auf eine ähnliche Entdeckungsreise in der Mathematik wie damals Thales gehen kannst. Beweisen und seine Vorstufen (Begründen und Argumentieren) sind wichtige Teile für die Wissenschaft "Mathematik". Viel Spaß dabei, selbst einmal einige Schritte als Mathematiker:in zu machen!
Table of Contents
- Vorwissen
- Vierecke
- Der Kreis
- Dreiecke
- Spiegeln und Symmetrie
- Das rechtwinklige Dreieck
- Die Idee
- Mit einem Viereck zum Thaleskreis
- Satz von Thales: Du schaffst das allein!
- Deine Argumentation zum Thaleskreis!
- Hier die Kontrolle
- Dein Thaleskreis - eine Bastelanleitung
- Bastelanleistung für den Thaleskreis
Vierecke
Als erstes Thema wiederholen wir die Eigenschaften einiger Vierecke.[br][br]Wichtig für dieses Thema ist das Wissen über das Rechteck und das Parallelogramm.
Parallelogramm
Die Eigenschaften des Parallelogramms
Wähle die Eigenschaften aus, welche auf das Parallelogramm zutreffen.[br]Falls du dir nicht mehr sicher bist, schau noch einmal bei der Aufgabe von zuvor nach.
Das Rechteck
Das Rechteck
Kreuze die Eigenschaften an, die auf ein Rechteck zutreffen.
Die Idee
Rechtwinkliges Dreieck
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn es in einem Eckpunkt einen rechten Winkel hat.[br][br]Versuche den Punkt C im folgenden Geogebra-Applet so zu verschieben, dass[br]im Punkt C immer ein rechter Winkel ist.[br]Wie viele Möglichkeiten findest du?
Idee
Schreibe in einem Satz auf, was dir auffällt.[br]Gilt das bei jeder Größe?
Deine Argumentation zum Thaleskreis!
Du bist dran!
Du hast gesehen, wie eine solche Argumentation aufgebaut werden kann. Jetzt bist du an der Reihe.[br]Das folgende Bild hilft dir vielleicht bei deiner Argumentation, den Satz von Thales zu beweisen.[br][br]Versuche ausgehend von einer Strecke AB als Durchmesser und einem beliebigen Punkt C auf den Kreis auszugehen.[br][br]Bei Fehlern - Nicht Verzagen! Beweisen ist oft eine lange Reise mit vielen Fehlern! Das ist normal und manche Fehler bringen sogar neue Erkenntnisse!
Tipps
Du kannst die einzelnen Felder aufdecken. Hinter jedem Kästchen befindet sich ein Tipp,[br]der dir helfen kann, den Beweis aufzuschreiben.[br][br]Gutes Gelingen!
Bastelanleistung für den Thaleskreis
Bevor es losgeht...
Du hast jetzt zwei verschiedene Beweise zum Satz von Thales kennengelernt.[br]Dabei hast du nicht viel gebastelt, jedoch ist etwas bewegliches zum Herzeigen[br]oder auf einem Plakat ein richtiger Hingucker.[br]Deshalb hast du hier noch eine Bastelanleitung, wie man auf Karton oder festerem Papier einen Thaleskreis bastelt.
[list][*]Stück Karton oder ein Stück dickes/festes Papier[/*][*]drei Büroklammern oder zwei Stecknadeln und einen Dübel[/*][*]ein Gummiband [/*][*]einen Zirkel[/*][*]ein Lineal[/*][*]eine Schere oder ein Cuttermesser[/*][*]einen dicken Stift und einen Bleistift[/*][/list]
[size=150]Zeichne eine Strecke AB als Diagonale für deinen Kreis.[/size][br][size=100]D[/size][size=100]amit du kein Problem mit deinem Gummiband bekommst, sollte das Gummiband etwas länger als das Doppelte der Strecke AB sein [br](Beispiel: Ist AB = 10 cm sollte dein Gummiband ca. 24 cm lang sein)[/size][size=85][br][br]Du kannst die Länge deines Gummibandes auch berechnen: Die Länge der Strecke AB multipliziert mit [math]\frac{7}{3}[/math][/size].
[size=150]Nun müssen wir einen Kreis oder einen Halbkreis mit dem Zirkel zeichnen. Dafür musst du den Radius abmessen.[/size][br][br][size=85]Tipp: Falls du wie ich den Durchmesser beliebig lang gezeichnet hast, kannst du dir den Streckenmittelpunkt (unseren Kreismittelpunkt) konstruieren. Nimm deinen Zirkel und spanne ihn etwas mehr als die Hälfte deiner Strecke ein (das muss nicht genau sein). Stich nun mit der Spitze in den Punkt A und mache einen kleinen Abschnitt des Kreises, der den Durchmesser schneidet. Wiederhole das auf der anderen Seite mit Punkt B. Die zwei Kreisbögen sollten sich nun an einem Punkt über und einem Punkt unter dem Durchmesser schneiden. Wenn du diese Punkte verbindest erhälst du den Mittelpunkt am Durchmesser. Die Strecke vom Mittelpunkt zu A oder B ist dein Radius für den Kreis.[/size]
Damit du anschließend die Büroklammern bewegen bzw. an die richtige Stelle geben kannst, musst du mit dem Cuttermesser den Halbkreis "ausschneiden". Dafür sollst du nur den Kreisbogen ritzen. [br]Wenn du Büroklammern benutzt brauchst du auch etwas abseits zwei kurze Schlitze (so breit wie deine Büroklammern), damit du die Büroklammern durchstecken kannst.[br][br]Lege etwas unter den Karton, wenn du schneidest oder/und lass dir von einem Erwachsenen gegebenenfalls helfen.
Biege die Büroklammern so auf.
Stecke zwei Büroklammern durch die Schlitze bei A und B und klebe sie mit Klebeband fest. Die dritte Büroklammer bleibt beweglich und kommt durch den Halbkreis-Schlitz.
Fädle nun dein Gummiband durch alle drei Büroklammern. Wenn du es fester/lockerer ziehst, erkennst du das Dreieck.
Fertig: Die dritte Klammer ist beweglich und trotzdem kommt immer ein rechter Winkel heraus.
Weitere Gestaltungsmöglichkeiten
Du kannst noch weitere Elemente einbauen.[br]Beispiele wären:[br][list][*]Den rechten Winkel aus buntem Papier ausschneiden und auf den Punkt C kleben[/*][*]den Mittelpunkt und den Punkt C mit einem Stück Schnurr verbinden, damit du den Beweis mit den zwei Dreiecken herzeigen und beschreiben kannst[/*][*]Du macht einen ganzen Kreis und machst einen weiteren flexiblen Punkt, um den Beweis mit dem Rechteck nachzustellen (Achtung - nicht den ganzen Kreis ausschneiden, sonst fällt dir die Mitte runter)[/*][*]Du kannst eine Überschrift, deine Argumentationen oder Beschreibungen anbringen[/*][/list][br]Du siehst, hier hast du noch viel Freiraum, um deinen persönlichen Thaleskreis zu gestalten - Viel Spaß!