Dada uma orientação do espaço de vetores [math]V^3[/math], pela base ortonormal [math]\left\{\vec{q_1,}\vec{q_2},\vec{q_3}\right\}[/math], definimos o produto vetorial dos vetores [math]\vec{u}[/math],[math]\vec{v}\in V^3[/math], que denotamos pelo vetor [math]\vec{u}\wedge\vec{v}\in V^3[/math] da seguinte forma:[br][list][*]Se os vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] são linearmente dependentes, então definimos [math]\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}.[/math][/*][*]Se os vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] são linearmente independentes, então o vetor [math]\vec{u}\wedge\vec{v}\in V^3[/math] tem as seguintes características:[/*][/list][list=1][*] A norma do vetor [math]\vec{u}\wedge\vec{v}[/math] é igual a área do paralelogramo formado pelos vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math].[/*][*]O vetor [math]\vec{u}\wedge\vec{v}[/math] é ortogonal aos vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math][/*][*]O conjunto de vetores [math]\left\{\vec{u},\vec{v},\vec{u}\wedge\vec{v}\right\}\subset V^3[/math] é uma base para o espaço de vetores [math]V^3[/math].[br][/*][/list]

Consideramos uma orientação do espaço de vetores [math]V^3[/math] dada pela base ortonormal [math]\left\{\vec{q_1,}\vec{q_2},\vec{q_3}\right\}[/math], definimos o produto misto dos vetores [math]\vec{u}[/math],[math]\vec{v}[/math] e [math]\vec{w}\in V^3[/math], que denotamos pelo vetor [math]\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right][/math] da seguinte forma:[br][center][math]\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right]=<\vec{u}\wedge\vec{v},\vec{w}>[/math].[/center]

Calcule o volume [math]V_p[/math] do paralelepípedo formado pelos vetores [math]\vec{u}[/math], [math]\vec{v}[/math] e [math]\vec{w}\in V^3[/math]

Pela definição de produto vetorial sabemos que a norma do vetor [math]\vec{u}\wedge\vec{v}[/math] é definida da seguinte forma[br][center][math]\parallel\vec{u}\wedge\vec{v}\parallel=\parallel\vec{u}\parallel\parallel\vec{v}\parallel sen\left(\theta\right)[/math][/center]onde [math]\theta[/math] é a medida do ângulo entre os vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math]. Logo, a área [math]A_p[/math] do paralelogramo de base [math]\parallel\vec{u}\parallel[/math] e altura [math]\parallel\vec{v}\parallel sen\left(\theta\right)[/math] está dada por [math]A_p=\parallel\vec{u}\wedge\vec{v}\parallel[/math].[br]A altuda [math]h[/math] do paralelepípedo é igual a norma da projeção do vetor [math]\vec{w}[/math] sobre a direção do vetor [math]\vec{r}=\vec{u}\wedge\vec{v}[/math]. Assim,[br][center][math]V_p=A_ph=\parallel\vec{u}\wedge\vec{v}\parallel\frac{\mid<\vec{u}\wedge\vec{v},\vec{w}>\mid}{\parallel\vec{u}\wedge\vec{v}\parallel}=\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right][/math][/center]

A solução é única. Inclusive se consideramos como base do paralelepípedo outro paralelogramo definido por vetores diferentes do par [math]\left\{\vec{u},\vec{v}\right\}[/math].