I Numeri Complessi
Introduzione ai numeri complessi
Table of Contents
- Perché?
- Radici di un polinomio e soluzioni di un'equazione
- L'inizio della storia
- Le soluzioni complesse delle equazioni di 2 grado
- Nota storica
- Somma e Prodotto
- Definizioni
- Somma
- Prodotto
- Il reciproco
- Potenze e radici
- L'esponenziale complesso e la trigonometria
- L'angolo unitario
- L'esponenziale complesso
Radici di un polinomio e soluzioni di un'equazione
Una delle prime cose che abbiamo osservato riguardo alla fattorizzazione dei polinomi è la relazione tra coefficienti e radici di un polinomio di secondo grado.[br]Ad es.,[br][math](x−3)(x−7)≡x^2−10x+21.[/math][br]Qui, 3 e 7 sono le radici, cioè i valori per cui l'espressione si annulla. Il coefficiente di primo grado è [math]−10=−(7+3)[/math], ossia la [b]somma delle radici cambiata di segno[/b]; il termine noto è [math]21=7×3[/math] ovvero il [b]prodotto delle radici[/b].[br]In generale, in un polinomio di secondo grado (con coefficiente della [math]x^2[/math] uguale ad uno) con radici [math]x_1[/math] e [math]x_2[/math], il coefficiente della [math]x[/math] rappresenta la somma delle radici cambiata di segno (cioè [math]−x_1−x_2[/math]) e il termine noto rappresenta il prodotto delle radici (cioè [math]x_1[/math][math]x_2[/math]).[br]Meno banale è il [b]viceversa[/b], perché sappiamo che [u]non tutti i polinomi di secondo grado hanno radici reali[/u].[br]Ad es., [math]x^2+1[/math] non può essere scritto nella forma [math](x−x_1)(x−x_2)[/math] con [math]x_1[/math] e [math]x_2[/math] reali, perché non c'è nessun numero reale che abbia il quadrato negativo.
Definizioni
Vale la pena fare un piccolo parallelo tra numeri complessi e vettori nel piano. Tutte e due queste quantità sono associate ad una [b]coppia [/b]di numeri reali. Per i vettori, sono definite tre operazioni di base: la [b]somma[/b], definita con la regola del parallelogramma, e due tipi di prodotto: il [b]prodotto scalare[/b], definito come prodotto dei moduli (lunghezze dei vettori) per il coseno dell'angolo compreso, e il prodotto vettoriale, definito come il prodotto dei moduli per il seno dell'angolo compreso.[br][br]Per i numeri complessi, somma e prodotto sono definiti in modo che nella formula[br][math]z^2+bz+c≡(z−z_1)(z−z_2)[/math],[br][math]b≡−z_1−z_2[/math] e [math]c\equiv z_1z_2[/math].[br][br]Somma e prodotto tra numeri complessi, sono dunque operazioni connaturate nel problema, ed esiste un solo modo naturale per definirli:[br]La somma tra [math]z:=x+iy[/math] e [math]w:=u+iv[/math] è definita come[br][b][math]z+w:=(x+y)+i(u+v)[/math][/b],[br]e il loro prodotto come[br][b][math]zw:=(x+iy)(u+iv)≡xu+i(xv+yu)+i^2yv≡(xu−yv)+i(xv+yu)[/math][/b].[br][br]Nell'ultima uguaglianza, nota che abbiamo usato [math]i^2≡−1[/math].[br][br]Vale la pena sottolineare che [u]non[/u] c'è analogia tra il prodotto tra vettori e quello tra numeri complessi:i prodotti tra vettori del piano sono numeri reali; il prodotto tra numeri complessi è ancora un numero complesso. Corrisponde quindi ad una coppia di numeri e non ad un numero solo. Invece vedremo tra poco che la somma è proprio quella cui siamo abituati per i vettori.
L'angolo unitario
I matematici capirono, nella prima metà del 1700, che potevano estendere le funzioni reali (applicazioni che in cambio di un numero reale in ingresso forniscono un numero reale in uscita) al campo complesso. Nacque così la teoria delle funzioni di variabile complessa, applicazioni cioè che in cambio di un numero complesso restituiscono un numero complesso. Per entrare in questo campo, serve qualche nozione di calcolo, o sulle serie di potenze, quindi dobbiamo soprassedere. Una di queste funzioni dobbiamo però menzionarla, per il ruolo tutto speciale che gioca: l'esponenziale complesso, in particolare, un numero reale elevato ad una potenza puramente immaginaria, tipo [math]2^i[/math].[br][br]Abbiamo già visto che l'elevazione a potenza intera di un numero di modulo 1 corrisponde ad una rotazione.[br]in formule,[br][math](\cosα+i\sinα)^n≡\cos(nα)+i\sin(nα)[/math][br]nota come "formula di de Moivre". In realtà è stata dimostrata da Eulero nel 1736, ma de Moivre nel 1730 era arrivato ad un'espressione [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_De_Moivre#Historique]simile[/url].[br][br]Con qualche cautela per evitare i problemi dovuti alla molteplicità delle radici, si può generalizzare questa formula agli esponenti reali, ottenendo[br][math]\cosα+i\sinα≡(\cos1+i\sin1)^α[/math],[br]che si interpreta dicendo che [math]\cos1+i\sin1[/math] individua l'angolo unitario.[br]Ma questa scrittura è interessante anche per un altro motivo: permette di rappresentare seno e coseno in termini di un esponenziale. Eulero ha mostrato che il numero [math]\cos1+i\sin1[/math], che gioca il ruolo di "unità di misura", può essere riscritto in maniera sorprendente.