Existe um único ponto [math]V=\left(x_v,y_v\right)[/math], de modo que [math]V[/math] pertence ao gráfico da função, onde é possível traçar uma reta [math]s[/math] perpendicular ao eixo [math]x[/math], tal que dois pontos quaisquer de ordenadas iguais possuem a mesma distância da reta [math]s[/math].[br][br]Chamamos a reta [math]s[/math] de [b]eixo de simetria [/b]e o ponto [math]V[/math] de [b]vértice da parábola[/b].

Determine o vértice da função [math]f\left(x\right)=2x^2-8x[/math].[br][br]Solução: Vamos determinar as raízes da função através do método da fatoração. [br][br]Colocando o [math]x[/math] em evidência, ficamos com [math]f\left(x\right)=x\left(2x-8\right)[/math]. Vamos determinar as raízes da equação de 2º grau [math]x\left(2x-8\right)=0[/math]. Deste modo, temos que: [br][br](I) [math]x=0[/math] e (II) [math]2x-8=0\Longrightarrow2x=8\Longrightarrow x=\frac{8}{2}=4[/math][br][br]As raízes da função são [math]x'=0[/math] e [math]x''=4[/math].[br][br]A partir das raízes será possível obter a abscissa e a ordenada do Vértice da função, onde: [br][br][math]x_v=\frac{x'+x''}{2}=\frac{0+4}{2}=\frac{4}{2}=2[/math] e [math]y_v=2\left(2\right)^2-8\left(2\right)=2\left(4\right)-16=8-16=-8[/math][br][br]Portanto, [math]V=\left(2,-8\right)[/math].

Vamos demonstrar como determinar as coordenadas do vértice quando a função não possui raízes reais. [br][br]Dada a função quadrática [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math], com [math]a\ne0[/math]. Seja V o vértice da função, tal que [math]V=\left(x_v,y_v\right)[/math]. Sabemos que quaisquer dois pontos com mesma ordenada equidistam de [math]x_v[/math]. Deste modo, podemos definir esses pontos da seguinte maneira: [math]x_v+k[/math] e [math]x_v-k[/math], com [math]k\ne0[/math] e a partir disso temos que[math]y_v=f\left(x_v+k\right)=f\left(x_v-k\right)[/math]. [br][br]Vamos calcular [math]f\left(x_v+k\right)=f\left(x_v-k\right)[/math], temos que:[br][br][math]f\left(x_v+k\right)=f\left(x_v-k\right)[/math][br][math]\Longrightarrow a\left(x_v+k\right)^2+b\left(x_v+k\right)+c=a\left(x_v-k\right)^2+b\left(x_v-k\right)+c[/math][br][math]\Longrightarrow a\left(x_v^2+2kx_v+k^2\right)+b\left(x_v+k\right)+c=a\left(x_v^2-2kx_v+k^2\right)+b\left(x_v-k\right)+c[/math][br][math]\Longrightarrow ax_v^2+2akx_v+2ak^2+bx_v+bk+c=ax_v^2-2akx_v+2ak^2+bx_v-bk+c[/math][br][math]\Longrightarrow ax_v^2-ax_v^2+4akx_v+2ak^2-2ak^2+bx_v-bx_v+c-c=-2bk[/math][br][math]\Longrightarrow4akx_v=-2bk[/math][br][math]\Longrightarrow x_v=\frac{-2bk}{4ak}=\frac{-b}{2a}[/math][br][br]Por fim, substituindo [math]x_v[/math] em [math]f\left(x_v+k\right)[/math], ficamos com: [br][br][math]y_v=f\left(x_v\right)=a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c[/math][br][math]\Longrightarrow y_v=a\left(\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{2a}+c[/math][br][math]\Longrightarrow y_v=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c[/math][br][math]\Longrightarrow y_v=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}=\frac{-b^2+4ac}{4a}=-\frac{\Delta}{4a}[/math]

A partir do exposto acima, concluímos que: [br][br][math]V=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/math]