Решение неполных квадратных уравнений[br]Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:[br][br]ax2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;[br]ax2 + c = 0, при b = 0;[br]ax2 + bx = 0, при c = 0.[br]Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.[br][br]Как решить уравнение ax2 = 0[br]Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax2 = 0.[br][br]Уравнение ax2 = 0 равносильно x2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x2 = 0 является нуль, так как 02 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.[br][br]Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 = 0 имеет единственный корень x = 0.[br][br]Пример 1. Решить −6x2 = 0.[br][br]Как решаем:[br][br]Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.[br]По шагам решение выглядит так:[br]−6x2 = 0[br][br]x2 = 0[br][br]x = √0[br][br]x = 0[br][br]Ответ: 0.[br][br]Как решить уравнение ax2 + с = 0[br]Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.[br][br]Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.[br][br]Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax2 + c = 0:[br][br]перенесем c в правую часть: ax2 = - c,[br]разделим обе части на a: x2 = - c/а.[br]Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.[br][br]Если — c/а < 0, то уравнение x2 = - c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р2 = - c/а не является верным.[br][br]Если — c/а > 0, то корни уравнения x2 = - c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)2 = - c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)2 = - c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.[br][br]В двух словах[br]Неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0 равносильно уравнению х2= -c/a, которое:[br][br]не имеет корней при — c/а < 0;[br]имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.[br] [br]Пример 1. Найти решение уравнения 8x2 + 5 = 0.[br][br]Как решать:[br][br]Перенесем свободный член в правую часть:[br]8x2 = - 5[br][br]Разделим обе части на 8:[br]x2 = - 5/8[br][br]В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.[br]Ответ: уравнение 8x2 + 5 = 0 не имеет корней.[br][br]Как решить уравнение ax2 + bx = 0[br]Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.[br][br]Неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:[br][br]Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.[br][br]Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.[br][br]Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня:[br][br]x = 0;[br]x = −b/a. [br]