ESTUDO ANALÍTICO DO VÉRTICE
[b][color=#ff0000]DETERMINANDO AS COORDENADAS DO VÉRTICE[br][/color][br][/b][b][justify]Nas atividades anteriores, foi possível identificar visualmente o vértice da parábola. Entretanto, nem sempre teremos um gráfico disponível para localizar esse ponto. Assim, surge a seguinte questão:[br][br][color=#0000ff]"Como determinar as coordenadas do vértice apenas conhecendo a expressão algébrica da função quadrática?"[/color][/justify][/b][justify][b]Para responder a essa pergunta, utilizaremos o GeoGebra para investigar a relação entre os coeficientes da função e a posição do vértice. Observe os valores apresentados, realize as variações propostas e registre os resultados na tabela a seguir. Em seguida, analise os padrões encontrados e procure formular suas próprias conclusões antes da apresentação das expressões matemáticas que permitem calcular as coordenadas do vértice.[br][br][br][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][/b][/justify][br][b][b][color=#ff0000][b][br][/b][/color][/b][/b]
[b][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][br][color=#ff0000]INVESTIGANDO A COORDENADA [/color][/b][math]x[/math][b][color=#ff0000] DO VÉRTICE[br][/color][/b][justify][b][br][/b][b]Aqui, nosso objetivo é determinar uma expressão matemática capaz de fornecer o valor de [/b][math]x[/math][b] do vértice. Para isso, utilize o gráfico acima e siga as orientações de cada exercício. Dessa forma, será possível identificar uma fórmula direta para a localização do [/b][math]x[/math][b] do vértice.[/b][/justify]
[b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][br]VARIAÇÃO DE[/color] [math]a[/math]:[br][br]Complete a tabela abaixo após realizar as alterações nos coeficientes da função quadrática explícita acima.[br][/b][br][table][tr][td] [b][color=#ff0000] [/color][/b][math]a[/math][b][color=#ff0000] [/color][/b][/td][td][b][color=#ff0000] [/color][/b][math]b[/math][b][color=#ff0000] [/color][/b][/td][td][b][color=#ff0000] [/color][/b][math]c[/math][b][color=#ff0000] [/color][/b][/td][td][b][color=#ff0000] Coordenada [/color][/b][math]x[/math][b][color=#ff0000] do vértice [/color][/b] [/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] 4[/td][td] 1[/td][td] ?[/td][/tr][tr][td] 2[/td][td] 4[/td][td] 1[/td][td] ?[/td][/tr][tr][td] 4[/td][td] 4[/td][td] 1[/td][td] ?[/td][/tr][tr][td] 8[/td][td] 4[/td][td] 1[/td][td] ?[/td][/tr][/table][br][br]
[b][color=#ff0000][i][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][br]VARIAÇÃO DE [/i][/color][math]b[/math][color=#ff0000][i]:[/i][br][/color][br][b]Complete a tabela abaixo após realizar as alterações nos coeficientes da função quadrática explícita acima.[br][/b][/b][br][table][tr][td] [b][color=#ff0000] [/color][/b][math]a[/math][b][color=#ff0000] [/color][/b][/td][td][b][color=#ff0000] [/color][/b][math]b[/math][b][color=#ff0000] [/color][/b][/td][td][b][color=#ff0000] [/color][/b][math]c[/math][b][color=#ff0000] [/color][/b][/td][td][b][color=#ff0000] Coordenada [/color][/b][math]x[/math][b][color=#ff0000] do vértice [/color][/b] [/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] 2 [/td][td] 1[/td][td] ?[/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] 4[/td][td] 1[/td][td] ?[/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] 6[/td][td] 1[/td][td] ?[/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] 8[/td][td] 1[/td][td] ?[/td][/tr][/table][br][br][br][b][br][/b]
[b][color=#ff0000][i][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][br]VARIAÇÃO DE [/i][/color][math]c[/math][color=#ff0000][i]:[/i][br][/color][br][b]Complete a tabela abaixo após realizar as alterações nos coeficientes da função quadrática explícita acima.[br][/b][/b][br][table][tr][td] [b][color=#ff0000] [/color][/b][math]a[/math][b][color=#ff0000] [/color][/b][/td][td][b][color=#ff0000] [/color][/b][math]b[/math][b][color=#ff0000] [/color][/b][/td][td][b][color=#ff0000] [/color][/b][math]c[/math][b][color=#ff0000] [/color][/b][/td][td][b][color=#ff0000] Coordenada [/color][/b][math]x[/math][b][color=#ff0000] do vértice [/color][/b] [/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] -2[/td][td] 1[/td][td] ?[/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] -2[/td][td] 2[/td][td] ?[/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] -2[/td][td] 3[/td][td] ?[/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] -2[/td][td] 4[/td][td] ?[/td][/tr][/table][br][br][br]
[color=#0000ff][b][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][br]O que acontece com a coordenada [/b][/color][math]x[/math][color=#0000ff][b] do vértice quando o valor de [/b][/color][math]b[/math][color=#0000ff][b] aumenta?[/b][/color][br][b][b][color=#ff0000][b][br][/b][/color][/b][/b]
[color=#0000ff][b][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][br]O coeficiente [math]c[/math] influencia essa coordenada?[/b][/color][br][b][b][color=#ff0000][b][br][/b][/color][/b][/b]
[b][color=#0000ff][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][br]Quais coeficientes parecem determinar a posição horizontal do vértice?[/color][/b][br][b][b][color=#ff0000][b][br][/b][/color][/b][/b]
[b][color=#0000ff][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][br]É possível identificar algum padrão nos valores obtidos? É possível deduzir uma fórmula específica para determinar o valor de [math]x[/math] do vértice?[br][br][br][/color][i][color=#ff0000]OBSERVAÇÃO: Esse resultado será ÚTIL na busca pelo [/color][/i][/b][math]y_v[/math][b][i][color=#ff0000].[/color][/i][/b][br]
[b][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][br][color=#ff0000]INVESTIGANDO A COORDENADA [/color][/b][math]y[/math][b][color=#ff0000] DO VÉRTICE[br][/color][/b][justify][b][br][/b][b]Agora, nosso objetivo é determinar uma expressão matemática capaz de fornecer o valor de [math]y_v[/math][/b][b] do vértice. Para isso, utilize os resultados do [math]x_v[/math] que você encontrou anteriormente e siga as orientações de cada exercício. Dessa forma, será possível identificar uma fórmula direta para a localização do [math]y_v[/math][/b][b] do vértice. Para isso, siga as orientações abaixo.[/b][/justify]
[justify][b][b][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][/b][br]Neste momento, você deverá utilizar os valores de [/b][math](x_v)[/math][b] encontrados nas atividades anteriores. O objetivo é substituir, um de cada vez, esses valores no lugar de [/b][math](x)[/math][b] em cada função quadrática trabalhada e analisar a relação entre os resultados obtidos e os valores encontrados anteriormente.[br][br]As tabelas que deverão ser preenchidas estarão disponíveis logo abaixo.[/b][/justify]
[b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][br]VARIAÇÃO DE[/color] [math]a[/math]:[br][br]Complete a tabela abaixo após realizar as alterações nos coeficientes da função quadrática explícita acima.[br][/b][center][br][/center][table][tr][td] [math]a[/math] [/td][td] [math]b[/math] [/td][td] [math]c[/math] [/td][td] [math]x_v[/math] [/td][td] [math]y_v[/math] [/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] 4[/td][td] 1[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td] 2[/td][td] 4[/td][td] 1[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td] 4[/td][td] 4[/td][td] 1[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td] 8[/td][td] 4[/td][td] 1[/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]
[justify][b]Para investigar se o coeficiente [math](a)[/math] influencia o valor de [math](x_v)[/math], fixamos os valores de [math](b=4)[/math] e [math](c=1)[/math]. Assim, a função quadrática fica:[/b][/justify][br][center][math]f(x)=ax^2+4x+1[/math][br][/center][justify][/justify][center][br][/center][b]Após encontrar os valores de [math](x_v)[/math] nas atividades anteriores, substitua cada um desses valores no lugar de [math](x)[/math] na função quadrática correspondente.[/b][b][br][br]O objetivo é determinar os valores de [math](y_v)[/math] para os casos em que:[br][br][br][/b][center][math]a=1[/math][b], [/b][math]a=2[/math][b], [/b][math]a=4[/math][b] e [/b][math]a=8[/math][br][br][/center][b]Em seguida, complete a tabela acima com os resultados encontrados, e tente conectar esse resultado encontrado, com o valor explícito na área gráfica do GeoGebra.[br][br][br][i][color=#ff0000]OBS: NÃO ESQUEÇA DE CONFERIR OS RESULTADOS VIA GEOGEBRA[/color][/i][/b]
[b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][br]VARIAÇÃO DE[/color] [math]b[/math]:[br][br]Complete a tabela abaixo após realizar as alterações nos coeficientes da função quadrática explícita acima.[br][/b][center][br][/center][table][tr][td] [math]a[/math] [/td][td] [math]b[/math] [/td][td] [math]c[/math] [/td][td] [math]x_v[/math] [/td][td] [math]y_v[/math] [/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] 2[/td][td] 1[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] 4[/td][td] 1[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] 6[/td][td] 1[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] 8[/td][td] 1[/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]
[justify][b]Para investigar se o coeficiente [math](b)[/math] influencia o valor de [math](x_v)[/math], fixamos os valores de [math](a=1)[/math] e [math](c=1)[/math]. Assim, a função quadrática fica:[/b][/justify][br][center][math]f(x)=1x^2+bx+1[/math][br][/center][justify][/justify][center][br][/center][justify][b]Após encontrar os valores de [math](x_v)[/math] nas atividades anteriores, substitua cada um desses valores no lugar de [math](x)[/math] na função quadrática correspondente.[/b][b][br][br]O objetivo é determinar os valores de [math](y_v)[/math] para os casos em que:[br][br][br][/b][/justify][center][math]b=2[/math][b], [/b][math]b=4[/math][b], [/b][math]b=6[/math][b] e [/b][math]b=8[/math][br][br][br][/center][b][justify][b]Em seguida, complete a tabela acima com os resultados encontrados, e tente conectar esse resultado encontrado, com o valor explícito na área gráfica do GeoGebra.[br][/b][br][b][i][color=#ff0000]OBS: NÃO ESQUEÇA DE CONFERIR OS RESULTADOS VIA GEOGEBRA[/color][/i][/b][/justify][/b][br]
[b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][br]VARIAÇÃO DE[/color] [math]c[/math]:[br][br]Complete a tabela abaixo após realizar as alterações nos coeficientes da função quadrática explícita acima.[br][/b][center][br][/center][table][tr][td] [math]a[/math] [/td][td] [math]b[/math] [/td][td] [math]c[/math] [/td][td] [math]x_v[/math] [/td][td] [math]y_v[/math] [/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] -2[/td][td] 1[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] -2[/td][td] 2[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] -2[/td][td] 3[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td] 1[/td][td] -2[/td][td] 4[/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]
[justify][b]Para investigar se o coeficiente [math](c)[/math] influencia o valor de [math](x_v)[/math], fixamos os valores de [math](a=1)[/math] e [math](b=-2)[/math]. Assim, a função quadrática fica:[/b][/justify][br][center][math]f(x)=1x^2+bx+1[/math][br][/center][justify][/justify][center][br][/center][b]Após encontrar os valores de [math](x_v)[/math] nas atividades anteriores, substitua cada um desses valores no lugar de [math](x)[/math] na função quadrática correspondente.[/b][b][br][br]O objetivo é determinar os valores de [math](y_v)[/math] para os casos em que:[br][br][br][/b][center][math]c=1[/math][b], [/b][math]c=2[/math][b], [/b][math]c=3[/math][b] e [/b][math]c=4[/math][br][br][/center][b][b]Em seguida, complete a tabela acima com os resultados encontrados, e tente conectar esse resultado encontrado, com o valor explícito na área gráfica do GeoGebra.[br][/b][br][b][i][color=#ff0000]OBS: NÃO ESQUEÇA DE CONFERIR OS RESULTADOS VIA GEOGEBRA[/color][/i][/b][/b][br]
[b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][/color][/b][br][b][justify]Após essas análises, foi possível estabelecer alguma fórmula específica para a determinação do vértice de uma função quadrática? Se sim, qual foi essa fórmula?[/justify][/b]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][/color][/b][br]Caso foi possível, responda as questões abaixo.[/color][/b][br]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][/color][/b][br]VÉRTICE DA FUNÇÃO[br][br][/color][color=#0000ff][justify]Considere a função quadrática [br][br][/justify][center][math]f(x)=x^2-4x+3[/math].[br][br][/center][br][justify]Determine as coordenadas do vértice dessa função e identifique se ele representa um ponto de máximo ou de mínimo.[/justify][/color][/b][br]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][/color][/b][br]VÉRTICE DA FUNÇÃO[br][br][/color][color=#0000ff][justify]A função quadrática [br][br][/justify][center][math]g(x)=-2x^2+8x-5[/math].[br][br][br][/center][justify]possui um vértice. Sendo assim, calcule as coordenadas desse vértice e explique o significado desse ponto no gráfico da função.[/justify][/color][/b]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][/color][/b][br]VÉRTICE DA FUNÇÃO[br][br][/color][color=#0000ff][justify]Observe a função quadrática [br][br][/justify][center][math]g(x)=3x^2-12x+7[/math].[br][br][br][/center][justify]Encontre o valor de [math](x_v)[/math] e, em seguida, determine o valor correspondente de [math](y_v)[/math].[/justify][/color][/b]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][/color][/b][br]VÉRTICE DA FUNÇÃO[br][br][/color][color=#0000ff][justify]Dada a função quadrática [br][/justify][center][math]g(x)=x^2+6x+5[/math],[br][br][br][/center][justify][/justify][/color][/b][justify][b][color=#0000ff]determine as coordenadas do vértice e indique em qual região do plano cartesiano ele está localizado.[/color][/b][/justify]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][/color][/b][br]VÉRTICE DA FUNÇÃO[br][br][/color][color=#0000ff][justify]Considere a função quadrática [br][/justify][center][math]q(x)=-x^2+2x+8[/math].[br][br][br][/center][justify][/justify][/color][/b][justify][b][color=#0000ff][/color][/b][/justify][b][justify][color=#0000ff]Determine o vértice da parábola e explique como o coeficiente (a) ajuda a identificar se o vértice é um ponto de máximo ou de mínimo.[/color][/justify][/b]