05. transformaciones geométricas
Table of Contents
- 05.1. estudios simplificados
- 05.1.4.2 simetría axial
- 05.1.4.1 Homotecia de un Triángulo
- 05.2. Transformaciones proyectivas
- 05.02.01 haces proyectivos . Razón doble de cuatro puntos
- 05.2.1. homología
- 05.2.1 homología
- 05.2.1 Transformar triángulo escaleno en equilátero
- 05.2.2. afinidad
- 05.2.2 afinidad
- 05.2.3. homotecia
- 05.2.4. traslación
- 05.3. Transformaciones no proyectivas
- 05.3.1. rectas antiparalelas.
- 05.3.2. inversión
05.1.4.2 simetría axial
05.02.01 haces proyectivos . Razón doble de cuatro puntos
La razón simple de tres puntos alineados se define como: [b][color=#0000ff]RS(A, B, C) = AC/AB[/color][/b], donde los segmentos se consideran orientados. Es decir, tienen el mismo signo si los vectores [color=#0000ff][b]AB[/b][/color] y [b][color=#0000ff]AC[/color][/b] tienen el mismo sentido, y signo contrario si tienen sentido contrario. Por tanto, el orden es esencial.[br][br]La razón doble de cuatro puntos alineados se define como el cociente de las razones simples: [b][color=#0000ff]RD(A, B, C, D) = RS(B, C, D)/RS(A, C, D)[/color][/b].[br][br]Para rectas concurrentes, se definen de forma similar, pero utilizando los senos de los ángulos agudos que forman, contados siempre en el mismo sentido, por ejemplo positivo.[br][br]Una serie de puntos de una recta [b][color=#0000ff]r[/color][/b] pueden proyectarse en el haz de rectas que los une con un punto [b][color=#ff7700]O[/color][/b] exterior a [b][color=#0000ff]r[/color][/b]. A su vez un haz de rectas puede cortarse por una recta [b][color=#ff0000]s[/color][/b] que no pasa por el vértice del haz, originando una serie de puntos. Estas series y haces se dicen proyectivos entres si.[br][br]La razón doble se conserva en las proyecciones y secciones, a diferencia de la razón simple. Esto permite reconocer fácilmente si dos series/haces son proyectivos o no, segun que sus elementos correspondientes tengan iguales razones dobles o no. Las proyecciones conservan la ordenación de las series y haces.[br][br]En la figura pueden desplazarse los cuatro puntos blancos que definen a las rectas [b][color=#0000ff]r[/color][/b] y [b][color=#0000ff]s[/color][/b], y los puntos [b][color=#0000ff]A[/color][/b], [b][color=#0000ff]B[/color][/b], [b][color=#0000ff]C[/color][/b] y [b][color=#0000ff]D[/color][/b] que se proyectan desde [b][color=#ff7700]O[/color][/b] según las rectas [b][color=#ff7700]a[/color][/b], [b][color=#ff7700]b[/color][/b], [b][color=#ff7700]c[/color][/b] y [b][color=#ff7700]d[/color][/b], que a su vez se cortan por la recta [b][color=#ff0000]s[/color][/b], originado la serie [b][color=#ff0000]A'[/color][/b], [b][color=#ff0000]B'[/color][/b], [b][color=#ff0000]C'[/color][/b] [color=#ff0000]D'[/color]. También puede variarse el centro de proyección [b][color=#ff7700]O[/color][/b].
En Geometría proyectiva se considera ademas un punto del infinito para cada recta, compartido por todas las que son paralelas, y una recta del infinito, formado por todos los puntos del infinito. Esto permite que la proyectividad este definida para todos los puntos/rectas. Por ejemplo, si la recta [b][color=#ff7700]a[/color][/b], que proyecta al punto [b][color=#0000ff]A[/color][/b], es paralela a [b][color=#ff0000]s[/color][/b], el punto [b][color=#ff0000]A'[/color][/b] en que se corta con s es el punto del infinito de ambas. Para estos elementos también se conservan las propiedades de la razón doble, aunque la construcción no da cuenta apropiadamente de ellas.[br][br]Todas estas definiciones se generalizan fácilmente al espacio de tres dimensiones.[br][br]Se puede ocultar/mostrar la cudrícula para colocar los puntos/rectas en posiciones especiales y comprobar gráficamente que no se conserva la razón simple. También puede animarse el punto [b][color=#0000ff]D[/color][/b] con el control de la esquina inferior izquierda.