[size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/ggvbukux]"Loxodrome" ? Oder nicht ?[/url] [color=#ff7700](18.12.2019)[/color][/right][/size][size=85]Wir haben auf der Seite zuvor eine [i]Definition[/i] für "[color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color]" versucht: [br][list][*][color=#0000ff][i][b]Loxodromen[/b][/i][/color] sind die Kurven, welche ein [i][b]orthogonales Kurven-Netz[/b][/i] unter einem konstanten Winkel schneiden.[/*][/list]Insbesondere kann man dann für jede [color=#ff0000][i][b]komplex-differenzierbare Funktion[/b][/i][/color] die [color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] untersuchen. Dazu gehören viele interessante Kurvenscharen: siehe das Kapitel [math]\hookrightarrow[/math] "[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Spezielle komplexe Funktionen[/url]" im [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348]Moebiusebene[/url]. [br][br]Im Applet oben ist die komplex-differenzierbare Funktion [math]z\mapsto d\left(z\right)[/math] dargestellt, welche zu 3 vorgegebenen Punkten [math]z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}[/math] jedem [math]z\in\mathbb{C}[/math] das [color=#BF9000][i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][/color] (s.o) zuordnet. Diese von der Reihenfolge abhängige Invariante der 4 Punkte hat interessante Eigenschaften: die Lage von [math]z[/math] in Beziehung zu [math]z_1,z_2,z_3[/math] ist durch [math]d\left(z\right)[/math] eindeutig bestimmt:[br][/size][list][*][size=85]das [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][/color][/size] [math]d\left(z\right)[/math] ist genau dann [i][b]reell[/b][/i], wenn [math]z[/math] auf dem Kreis [math]c_{123}[/math] durch [math]z_1,z_2,z_3[/math] liegt. [math]d[/math] bildet diesen Kreis auf die [color=#980000][i][b]reelle Achse[/b][/i][/color] ab; insbesondere ist [math]d\left(z_1\right)=0,d\left(z_2\right)=1,d\left(z_3\right)=\infty[/math].[/size][br][/*][*]das [size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][/color][/size] [math]d\left(z\right)[/math] ist genau dann vom Betrag 1, d.h. [math]\left|d\left(z\right)\right|=1[/math], wenn [math]z[/math] auf dem von [math]z_3[/math] auf [math]z_1,z_2[/math] gefällten [color=#980000][i][b]Mittellot-Kreis[/b][/i][/color] liegt! [math]d(z)[/math] liegt dann also auf dem [color=#a61c00][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color]![/size][/*][*]das [size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][/color][/size] [math]d\left(z\right)[/math] ist genau dann rein imaginär, wenn [math]z[/math] auf dem zu [math]c_{123}[/math] orthogonalen Kreis durch [math]z_1,z_2[/math] liegt. [math]d(z)[/math] liegt dann auf der [math]y[/math][color=#980000][i][b]-Achse[/b][/i][/color]![br][/size][/*][/list][size=50]Der [color=#980000][i][b]Mittellot-Kreis[/b][/i][/color] eines Punktes [math]c[/math] auf zwei Punkte [math]a,b[/math] ist der eindeutig bestimmte Kreis durch [math]c[/math], zu welchem die Punkte [math]a,b[/math] spiegelbildlich liegen. [br]Dieser [color=#980000][i][b]Mittellot-Kreis[/b][/i][/color] ist [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color] zu allen Kreisen durch [math]a,b[/math].[/size] [br][size=85]Die Funktion [math]z\longrightarrow d\left(z\right)[/math] bildet die achsenparallelen Geraden auf die Kreise zweier orthogonalen parabolischen Kreisbüschel ab.[br][color=#6aa84f][i][b]Geraden mit der Steigung[/b][/i][/color] [math]m=tan\left(\varphi\right)[/math] schneiden die Bilder der zur [math]x-[/math]Achse parallelen Geraden unter dem Winkel [math]\varphi[/math]. [br]Diese "[color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color]" sind - wenig spektakulär - ebenfalls Kreise. [br]Der einfache Grund: [math]d(z)[/math] ist eine [color=#20124D][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color], und daher [color=#20124D][i][b]kreis- und winkeltreu[/b][/i][/color]![/size][br][br][size=85]Zur Definition von "[color=#0000ff][i][b]Loxodromen[/b][/i][/color]" siehe auch die Seiten [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/ggvbukux#material/e2bhmmyb]Torusloxodrome[/url] und [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/ggvbukux#material/n8yzjey3]...und andere: ln[/url].[/size][br]