Symmetrie

Teil 1: Untersuche die Funktionen Sinus und Cosinus auf Symmetrie

Betrachten wir zunächst den Sinus. Welche Symmetrie liegt vor?

Achsensymmetrisch zur X-Achse Punktsymmetrie mit Spiegelpunkt (0,0) Punktsymmetrisch zum Punkt (1,0) Achsensymmetrisch zur Y-Achse

Betrachten wir nun den Cosinus. Welche Symmetrie liegt vor?

Achsensymmetrisch zur X-Achse Achsensymmetrisch zur Y-Achse Punktsymmetrisch zu einem beliebigen Nullpunkt. Punktsymmetrie mit Spiegelpunkt (0,0)

Teil 2: Die Symmetrie von Sinus und Cosinus

Das Schaubild der Funktion f mit f(x) = sin (x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, es gilt -sin (x) = sin (-x) für alle x. Das Schaubild der Funktion g(x) = cos (x) ist achsensymmetrisch zur Y-Achse, es gilt cos (x) = cos (-x) für alle x.

Verständnisfragen

Welcher der folgenden Werte stimmt mit dem Wert - sin (45°) überein?

- sin ( - 45°) sin ( -45°) sin (- [math]\pi[/math] /4)

Welche der folgenden Werte stimmt mit dem Wert cos ( [math]\frac{3\pi}{2}[/math] )

cos (-[math]\frac{5\pi}{2}[/math]) - cos ([math]\frac{3\pi}{2}[/math]) cos (-[math]\frac{3\pi}{2}[/math])

Teil 3: Extrema

Wir wissen bereits, dass sich Sinus und Cosinus nach einem Durchlauf der Periodenlänge 2[math]\pi[/math] wiederholen. [br][br]Mit der gleichen Peridiozität wiederholen sich die Extrempunkte von Sinus und Cosinus.

Wir können die Hochpunkte von Sinus und Cosinus einfach ablesen. Wir erhalten für die Hochpunkte des Sinus beispielsweise:

([math]\frac{1}{2}\pi[/math],1) (0,1) ( [math]\pi[/math], 1.5) (180°, 1) (270°,1) (90°,1) ([math]\frac{9}{4}\pi[/math],1)

Und für die Tiefpunkte des Sinus:

([math]\frac{3}{2}\pi[/math], -1) (180°, -1) (270°, -1) ( [math]\frac{7}{4}\pi[/math] ,-1) (-90, -1) ( [math]\pi[/math] ,1.5) (90°, -1)

Und für die Tiefpunkte des Sinus:

( [math]\pi[/math] ,1.5) (180°, -1) (90°, -1) ( [math]\frac{7}{4}\pi[/math] ,-1) ([math]\frac{3}{2}\pi[/math], -1) (270°, -1) (-90, -1)

Notiere dir eine Vorschrift für die Extrempunkte des Sinus. Beachte die Peridiozität der Hochpunkte.

Was erhalten wir für die Extrempunkte von Cosinus?

(180°, -1) ( [math]\frac{9}{4}\pi[/math],1) (360°,1) ([math]\frac{1}{2}\pi[/math],1) (90°,1) (0,1) ( [math]\pi[/math] , 1.5)

Vorschrift für Extrempunkte des Cosinus

Hochpunkte: [math]n\cdot2\pi[/math][br][br]Tiefpunkte: [math]n\cdot2\pi+\pi[/math]

Teil 4: Nullstellen

Nullstellen treten bei Sinus und Cosinus häufiger auf (Nämlich zwischen jedem Hoch und Tiefpunkt). [br]Daher ergibt sich für die Nullstellen eine Wiederholungshäufigkeit von 180°/[math]\pi[/math].

Kontrolliere ob folgende Aussagen wahr sind.

cos ([math]\frac{1}{2}\pi[/math]) = 0 cos ([math]\frac{1}{4}\pi[/math]) = 0 sin (0°) = 0 sin ([math]\pi[/math]) = 0 sin ( 8 ) = 0 cos (0°) = 0 cos (2[math]\pi[/math]) = 0 cos ([math]\pi[/math]) = 0 cos ( [math]\frac{5}{2}\pi[/math]) = 0 sin (720°) sin ( 8[math]\pi[/math]) = 0