O tipo de equação mais simples que podemos encontrar é uma [i]equação linear [/i]em [math]x[/math] e [math]y[/math],[br][center][br][math]Ax+By+C=0[/math],[br][/center][br]onde [math]A[/math], [math]B[/math] e [math]C[/math] são constantes e [math]A[/math] e [math]B[/math] não são ambos nulos. Se [math]B=0[/math], temos uma equação da forma [math]x=-C/A[/math], que é satisfeita por todos os pontos de uma reta vertical. Se [math]B\neq 0[/math], podemos isolar a variável [math]y[/math] em função de [math]x[/math], de modo que[br][center][br][math]y=ax+b.[/math][br][/center][br]Esses coeficientes [math]a[/math] e [math]b[/math] têm uma interpretação simples. Quando [math]x=0[/math], [math]y=b[/math], ou seja, o [i]coeficiente linear[/i] [math]b[/math] é exatamente o ponto de interseção do gráfico da equação com o eixo das ordenadas. Por outro lado, se [math](x_A,y_A)[/math] é um ponto do gráfico e buscarmos o ponto [math]B[/math] que está uma unidade a sua direita, temos que[br][center][br][math][br]y_B=a(x_A+1)+b=(ax_A+b)+a=y_A+a,[br][/math][br][/center] [br]isto é, para cada acréscimo de uma unidade em [math]x[/math], [math]y[/math] varia em [math]a[/math] unidades (aumentando ou diminuindo conforme o sinal de [math]a[/math]). Dessa forma, o gráfico da equação é uma reta cuja inclinação com relação ao eixo das abscissas é medido pelo coeficiente [math]a[/math], o [i]coeficiente angular[/i] da reta.[br][br]A figura interativa abaixo ilustra vários aspectos da [i]função afim[/i] [math]y=ax+b[/math], em particular como podemos determinar os valores de [math]a[/math] e [math]b[/math] a partir das coordenadas de dois pontos sobre a reta.[br]

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos dados[br][list=1][br][*][math]A=\left(-1,-2\right)[/math] e [math]B=\left(3,-2\right)[/math][/*][br][*][math]A=\left(3,-5\right)[/math] e [math]B=\left(7,4\right)[/math][/*][br][*][math]A=\left(\frac23,\frac72\right)[/math] e [math]B=\left(-\frac13,\frac32\right)[/math][/*][br][/list][br]Encontre a equação da reta que passa pelo ponto dado e tem o coeficiente angular dado.[br][list=1][br][*][math]A=\left(-7,-1\right)[/math] e [math]a=-1[/math][/*][br][*][math]A=\left(10,4\right)[/math] e [math]a=-\frac15[/math][/*][br][*][math]A=\left(-2,1\right)[/math] e [math]a=\frac23[/math][/*][br][/list][br]

A interpretação geométrica das equações lineares nos ajuda a resolver problemas que envolvam inequações. Considere, por exemplo, o gráfico da função [math]y=3x+2[/math].

Vemos que à direita da raiz [math]x=-\frac{2}{3}[/math] a funcão assume valores positivos (em azul) e à esquerda valores negativos (em vermelho). Isso ocorre porque o coeficiente angular [math]a=3[/math] é positivo, o que significa que a cada acréscimo de uma unidade da variável [math]x[/math], a variável [math]y[/math] [i]aumenta[/i] em 3 unidades. Por outro lado, a função y=-2x+3 assume valores negativos à direita da raiz [math]x=\frac{3}{2}[/math] e positivos à esquerda, pois o coeficiente angular agora é negativo:

Agora vamos [i]estudar o sinal[/i] da função [math]y=(3x+2)(-2x+3)=-6x^2+5x+6[/math], ou seja, determinar os intervalos onde ela assume valores positivos e os intervalos onde ela assume valores negativos. No presente caso, o processo é simplificado porque já conhecemos a função na forma fatorada. Em geral, teríamos que encontrar uma fatoração previamente. A ideia agora é estudar o sinal de cada fator separadamente e depois aplicar a "regra dos sinais" [br][center][math]\begin{array}{c|c|c}\times & - & + \\ \hline - & + & - \\ \hline + & - & + \\ \end{array}[/math][/center] para determinar o sinal do produto:

Assim, [math]y=-6x^2+5x+6[/math] é positiva no intervalo [math](-\frac23,\frac32)[/math] e negativa no conjunto [math](-\infty,-\frac23)\cup(\frac32,\infty)[/math]. Podemos aplicar esse raciocínio para qualquer função polinomial, basta conhecer uma fatoração. Como a regra dos sinais se aplica igualmente a operação de divisão, podemos também estudar o sinal de quocientes de polinômios (as chamadas [i]funções racionais[/i]).

Resolva as seguinte inequações:[br][br][list=1][br][*][math]x^2+10\leq 7x[/math][/*][br][*][math]2x^3-5x^2+2x\leq 0[/math][/*][br][*][math]\frac{(x-3)(x+2)}{x^2-1}<1[/math][/*][br][/list]