Ist die Beschleunigung [i]a[/i] = 0, dann verläuft die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit [i]v[/i] und es gilt:[br][math]s\left(t\right)=vt+s_0[/math][br]wobei [math]s_0[/math] der bereits zurückgelegte Weg zum Zeitpunkt [math]t=0[/math] ist.[br][br]Für [math]a\ne0[/math] verläuft die Bewegung beschleunigt. Im Falle einer konstanten Beschleunigung gilt:[br][math]v\left(t\right)=at+v_0[/math][br]wobei [math]v_0[/math] die bereits aufgebaute Geschwindigkeit zum Zeitpunkt [math]t=0[/math] ist.
In obiger Abbildung sind die Weg-Zeit-, Geschwindigkeit-Zeit- und Beschleunigung-Zeit-Diagramme einer Zugfahrt eingezeichnet, wobei die Graphen in etlichen Zeitfenstern unvollständig sind.[br][br]Was kann man über die Geschwindigkeit des Zugs zwischen 20 s und 40 s sagen?
Da die Beschleunigung [i]a[/i] = 0 ist, bleibt die Geschwindigkeit in diesem Zeitfenster konstant bei ihrem Anfangswert: [i]v[/i] = 60 m/s
Was gilt für die zurückgelegte Strecke in diesem Zeitintervall?
Da die Geschwindigkeit konstant ist, gilt:[br][math]s\left(t\right)=vt+s_0[/math][br][br]Zu Beginn des Zeitfensters:[br][math]s\left(20\text{ s}\right)=600\text{ m}[/math] (ablesbar)[br][br]Am Ende des Zeitfensters:[br][math]s\left(40\text{ s}\right)=s\left(20\text{ s}\right)+60\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot20\text{ s}=600\text{ m}+1200\text{ m}=1800\text{ m}[/math][br][br]Der Zug ist also in diesem Zeitfenster 1800 m weit gefahren.
Was gilt für die Beschleunigung und die zurückgelegte Strecke im Zeitintervall zwischen 60 s und 80 s?
Da die Geschwindigkeit in diesem Intervall null ist, ist die Beschleunigung auch null. Der Zug steht in diesem Zeitintervall still. Davor hat er bereits ca. 2400 m zurückgelegt (abgelesen).
Wie lautet die Gleichung der Funktion [i]v[/i], welche im Zeitintervall [80 s; 100 s] jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit zuordnet?
Die Gleichung lautet allgemein (für [i]a [/i]= 0):[br][math]v\left(t\right)=at+v_0[/math][br][br]Die Beschleunigung ist in diesem Zeitfenster konstant -1 m/s².[br][br]Der y-Achsenabschnitt [math]v_0[/math] kann z.B. mittels Punktprobe ermittelt werden:[br][math]v\left(80\text{ s}\right)=0[/math][br][math]-1\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot80\text{ s}+v_0=0[/math][br][math]v_0=80\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}[/math][br][br]Damit lautet die Gleichung der momentanen Geschwindigkeit im letzten Zeitfenster:[br][math]v\left(t\right)=-1\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot t+80\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}[/math]
Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse in einem Zeitintervall des [i]v[/i]-[i]t[/i]-Diagramms ist die in diesem Zeitintervall zurückgelegte Strecke.[br][br]Welche Strecke legt der Zug im Zeitintervall zwischen 80 s und 100 s zurück?
[br]Da sich im [i]v[/i]-[i]t[/i]-Diagramm eine Gerade ergibt, ist die Fläche unter dem Graphen ein Dreieck.[br]Mit Hilfe der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks kann man herleiten:[br][math]\Delta s=\frac{1}{2}\cdot\Delta t\cdot\Delta v=\frac{1}{2}\cdot20\text{ s}\cdot\left(-20\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)=-200\text{ m}[/math][br][br]Antwort: Der Zug fährt im letzten Zeitintervall 200 m rückwärts.
