Trigonometria
[justify]A trigonometria é um dos conteúdos em relação ao qual muitos alunos apresentam dificuldades. Devido a importância deste tema para várias áreas do conhecimento tem-se buscado encontrar estratégias de abordagens que melhorem o processo de ensino-aprendizagem deste tema. Na tentativa de contribuir com este processo, apresentamos uma sequência de atividades voltadas para o ensino de Trigonometria. O material produzido neste ambiente é parte integrante do Trabalho de Conclusão de Curso da autora, intitulado [b]ENSINO DE TRIGONOMETRIA: Uma proposta de atividades online na plataforma Geogebra[/b]. Sua elaboração tomou como pressuposto a construção de conceitos a partir das manipulações de objetos matemáticos em suas diferentes representações. Este livro é constituído por 7 atividades, cinco delas abordam o assunto de Razões Trigonométricas e as outras duas são complementares e estão no Apêndice. Esperamos que este material seja utilizado por professores e alunos a fim de ampliarmos as possibilidades de ensino-aprendizagem da Trigonometria. [/justify]
Table of Contents
- Semelhança de triângulos
- Triângulos
- Semelhança de triângulos
- Razões Trigonométricas
- Razões trigonométricas no triângulo retângulo
- O ciclo trigonométrico
- Razões trigonométricas no ciclo
- Razões trigonométricas de ângulos maiores que 90°
- Apêndice
- Oposto ou Adjacente?
- Semelhança
- Anexo
- Trabalho de conclusão de curso
Triângulos
[justify][br][/justify]Na construção abaixo você pode deslocar os pontos A, B e C do triângulo, modificando seus lados e ângulos. Ela servirá de referência para as questões 1, 2 e 3.
Questão 01
[justify]Quanto aos ângulos do triângulo responda:[br][br](a) Qual a cor que o triângulo assume ao se tornar um triângulo retângulo?[br](b) Qual a cor que o triângulo assume ao se tornar um triângulo acutângulo?[br](c) Qual a cor que o triângulo assume ao se tornar um triângulo obtusângulo?[/justify]
Questão 02
Desloque os pontos A, B e C, e responda o que se pede.[br][br](a) Ao tornar o triângulo reto em C, identifique os catetos e a hipotenusa.[br](b) Ao tornar o triângulo reto em B, identifique os catetos e a hipotenusa.[br](c) Ao tornar o triângulo reto em A, identifique os catetos e a hipotenusa.[br]
Questão 03
No item (c) da questão anterior você obteve um triângulo retângulo reto em A. Com base nesse triângulo responda:[br][br](a) Qual o cateto oposto ao ângulo vermelho? [br](b) Qual o cateto adjacente ao ângulo vermelho?[br](c) Qual o cateto oposto ao ângulo preto? [br](d) Qual o cateto adjacente ao ângulo preto?[br](e) Qual o lado que corresponde a hipotenusa?[br]
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Você sabe do que trata a trigonometria?
[br][justify]Palavra de origem grega: tri (três) + gonía (ângulo) + métron (medida), a trigonometria é o ramo da Matemática que trata das relações entre os lados e os ângulos de triângulos. Não se sabe ao certo quando ela surgiu, mas pode-se afirmar que a trigonometria começou de forma prática para determinar as distâncias que não podiam ser medidas diretamente, chamadas de distânciais inacessíveis, como, por exemplo, a distância entre duas margens de um rio, a altura de uma construção e até mesmo a distância entre a Terra e a Lua.[br][br]Nas próximas atividades, vamos direcionar nossa atenção para o triângulo retângulo, que por possuir propriedades e relações métricas já conhecidas, servirá como base para o nosso estudo.[br][br]A construção abaixo apresenta um triângulo retângulo ABC (e serve como referência para as questões 01 e 02). Os pontos B e C podem ser deslocados para modificar os valores dos ângulos associados a estes vértices (Faça isso!). O ponto azul pode ser deslocado sobre o lado AC do triângulo. Posicione-o sobre cada um dos pontos P[sub]1[/sub], P[sub]2[/sub], P[sub]3[/sub] e P[sub]4[/sub] e então preencha a tabela 01, informando as medidas dos lados solicitados, tomando como referência o ângulo preto, depois preencha também a tabela 02 tomando como referência o ângulo laranja.[br][/justify][br]
TABELA 01 - REFERENTE AO ÂNGULO PRETO
TABELA 02 - REFERENTE AO ÂNGULO LARANJA
Questão 01
(a) Você notou alguma variação nos valores que encontrou nas colunas: [b]O/H[/b], [b]A/H [/b]e[b] O/A[/b]?[br](b) Como você justifica o resultado do item (a)?
[justify][br]Você verificou nas tabelas 01 e 02 que quando tomamos como referência um mesmo ângulo, os valores obtidos para as colunas O/H, A/H e O/A, são constantes, isto ocorre porque os triângulos formados são semelhantes entre si. [br]Na matemática quando deparamos com valores que apresentam sempre o mesmo resultado, independente de qualquer outro elemento, dizemos que este é constante, podendo então dar um nome a ele, dessa forma poderemos nomear as razões:[br][br][/justify][justify]a) [b]Seno[/b], a razão entre o cateto oposto a um determinado ângulo e a hipotenusa do triângulo ABC (O/H).[br]b) [b]Cosseno[/b], a razão entre o cateto adjacente a um determinado ângulo e a hipotenusa do triângulo ABC (A/H).[br]c) [b]Tangente[/b], a razão entre o cateto oposto e o adjacente a um determinado ângulo e a hipotenusa do triângulo ABC (O/A).[br][/justify]
Questão 02
[justify]Converse com seus colegas para responder as perguntas abaixo.[br](a) Os resultados que eles encontraram nas três últimas colunas também foram constantes?[br](b) Os valores obtidos por eles nessas colunas foram os mesmos que você obteve?[br](c) Caso a resposta para a pergunta anterior seja negativa, o que você acha que produziu os resultados diferentes? Caso seja positiva, o que justifica isso?[/justify]
Razões trigonométricas no ciclo
INTRODUÇÃO
[br][justify][/justify]Fenômenos Periódicos [br][justify][/justify][justify]Um fenômeno é dito periódico quando ele se repete, indefinidamente, após intervalos de tempo iguais.[br]Vários fenômenos físicos se enquadram nessa perspectiva como: o movimento das marés, os batimentos cardíacos, as fases da lua, a rotação do eixo de um motor, bem como os movimentos de rotação e translação que a Terra executa, além de muitos outros.[br][br]Tomemos como exemplo os movimentos de rotação e translação da Terra. O movimento contínuo de rotação da Terra em torno do seu próprio eixo é realizado num período de 24 horas. Embora não sintamos o giro da Terra, esse movimento é importantíssimo, pois ele determina a sucessão dos dias e das noites.[br][br]No movimento de translação, que também é periódico, a Terra executa sua órbita aproximadamente circular, em torno do Sol durante aproximadamente 365 dias que correspondem a um ano, nesse período ocorre a mudança das estações climáticas em nosso planeta.[/justify][justify]Esses movimentos podem ser modelados matematicamente, e a trigonometria é uma ferramenta imprescindível para entendermos o comportamento desses fenômenos.[br][br][/justify]
Construindo o conceito
[br][br][justify]A construção abaixo apresenta uma circunferência centrada na origem O do plano cartesiano, cujo raio é representado pelo segmento OC. Os eixos cartesianos dividem a circunferência em quatro partes denominadas quadrantes, os quais encontram-se numerados de I a IV. Nesta construção consideraremos apenas ângulos positivos e estabeleceremos o sentido anti-horário para medi-los.[br][br]Ao movimentar o ponto D horizontalmente, modifica-se o tamanho do raio da circunferência, e ao movimentarmos o ponto C[i],[/i] os valores do ângulo DOC, denominado aqui pela letra grega α, são alterados.[br][/justify][br]As questões de 01 a 04 são referentes à construção 01.[br] [br]
Construção 01
Questão 01
[justify]Como você classificaria o triângulo verde quanto a seus ângulos?[/justify]
Questão 02
Quem assume o papel da hipotenusa do triângulo verde?
Questão 03
[justify][br]Posicione o ponto [i]C[/i] no primeiro quadrante, desloque o ponto [i]D [/i]e observe os valores das razões seno e cosseno.[br]Para qual medida do raio da circunferência, os valores das razões seno e cosseno correspondem as coordenadas do ponto [i]C[/i]?[br][br][b]Sugestão:[/b] Depois de encontrar o valor procurado para o raio, torne a movimentar o ponto C e certifique-se de que as coordenadas deste ponto ainda coincidem com os valores das razões trigonométricas.[/justify]
Questão 04
[br][justify]Movimente o ponto D para tornar o raio igual a 2 e calcule os valores do cosseno e do seno do ângulo α a partir das medidas dos lados do triângulo retângulo, mantenha o registro da razão entre esses lados. [/justify][br]Sem movimentar o ponto C, repita o procedimento para o raio igual a 1,5.[br][br]Observe seus registros e explique porque as coordenadas do ponto C coincidem com os valores do cosseno e do seno quando o raio é igual a 1?
Questão 05
[justify]Considere o círculo de raio unitário com centro na origem e responda: Como podem ser definidos o cosseno e o seno do ângulo α a partir das coordenadas do ponto C?[/justify]
Mais uma razão trigonométrica: a tangente
[justify][br]No capítulo sobre razões trigonométricas a definição de tangente foi dada pela razão entre o seno e o cosseno do ângulo α, porém, a exemplo do que fizemos com o cosseno e com o seno do ângulo α, vamos agora representar a tangente no ciclo trigonométrico.[br][br][br][/justify]
Orientações sobre a construção 02
[br][justify]Na construção 2 o ponto P é obtido como interseção entre a reta t, que tangencia o ciclo trigonométrico no ponto D, e a semirreta OC, de modo que sua ordenada corresponde ao comprimento do segmento PD.[br][/justify]
Construção 02
Questão 06
[justify]Na Construção 2, como você classificaria o triângulo rosa quanto a seus ângulos?[/justify]
Questão 07
Qual o valor do cateto adjacente ao ângulo α no triângulo rosa?
Questão 08
[justify]Com base nas respostas que você deu para as questões 6 e 7 e na definição da tangente de um ângulo em triângulo retângulo (razão entre as medidas dos catetos oposto e adjacente), forneça a relação entre a ordenada do ponto P e o valor da tangente do ângulo α.[br]Movimente o ponto C para verificar se a relação percebida por você realmente se sustenta.[/justify]
Questão 09
Na construção 02 desloque o ponto C pelo 1º quadrante e observe o comportamento do segmento DP.[br](a) Qual o valor da tangente quando o ângulo α equivale a 0°?[br](b) Quando o ângulo α se aproxima de 90° o que acontece com o valor do comprimento do segmento DP?[br](c) O que podemos afirmar sobre a tangente do ângulo α quando este mede 90°?
Definição de Ciclo Trigonométrico
[justify][br]Passamos a definir o [b]ciclo trigonométrico[/b] como a circunferência centrada na origem do plano cartesiano, de raio igual a 1, utilizada para definir os valores das razões trigonométricas de um ângulo qualquer. Nele ângulos tomados no sentido anti-horário possuem medida positiva e aqueles tomados no sentido horário possuem medida negativa.[/justify]
Ciclo trigonométrico
[justify]Vimos, nas representações acima, que as relações trigonométricas antes estabelecidas no triângulo retângulo, também podem ser obtidas através de uma outra formalização construída a partir do ciclo trigonométrico. Na próxima atividade, vamos nos aprofundar sobre o significado das razões trigonométricas para ângulos maiores que 90°.[/justify]
Oposto ou Adjacente?
Noção Intuitiva
Na construção abaixo é possível manipular o controle deslizante n para alterar o número de lado do polígono.[br]Observe nela o lado AB. Quando n = 3 o ângulo do vértice C é oposto a esse lado.
Quando n=4, há um ângulo oposto ao lado AB?
E quando n=5, há um ângulo oposto ao lado AB? Se sim, qual?
Para quais valores de n há um ângulo oposto ao lado AB?
Você acha que haveria um ângulo oposto a AB se n fosse igual a 10? Por quê?
Se fizermos n=5, qual será o lado oposto ao ângulo do vértice C?
Desenvolvendo conceitos
[justify]Acima usamos apenas nossa intuição para falar a respeito de [i]lado oposto a um ângulo[/i]. Vamos agora tentar formalizar esse conceito? Crie uma definição para o conceito de [i]lado e ângulo opostos um ao outro[/i].[/justify]
A definição que você criou na questão anterior aplica-se apenas a polígonos que possuem um número ímpar de vértices. Você seria capaz de criar um conceito parecido para polígonos com uma quantidade par de lados, mas comparando apenas lados entre si e não lados com ângulos?
Noção intuitiva
[justify][br][br]Na construção acima visualizamos que quando um lado é considerado oposto a um ângulo, ou vice versa, é porque um está posicionado em frente ao outro, mas o que podemos dizer sobre os lados que formam o ângulo? Observe a construção abaixo.[/justify]
Polígono 02
Observe o polígono 02 e identifique o ângulo α.
Responda quais os segmentos de reta que formam esse ângulo?
Formando conceitos
[br][justify]A palavra Adjacente significa aquele que passa ao lado. No caso do polígono 02, são os lados AB e AD que estão ao lado do ângulo α, e se unem para formá-lo, portanto AB e AD são lados adjacentes ao ângulo α.[/justify][br][br][br]
Agora é com você. Com base no polígono 02 responda:
Quais os lados adjacentes ao ângulo β?
Quais os lados adjacentes ao ângulo δ?
Quais os lados adjacentes ao ângulo γ?
De acordo com os polígonos abaixo, marque as alternativas corretas.
Trabalho de conclusão de curso
TCC_ISABEL C TAVARES MARTINS