Das gleichseitige Dreieck hat die drei Ecken A,B,C.[br]In jeder Ecke sitzt ein Indianer. Diese bezeichne ich A′, B′, C′.[br]A′ sieht nur B′, B′ sieht nur C′ und C′ sieht nur A′.[br]Alle drei krabbeln gleichzeitig los, jeder immer in die Richtung, in der sich momentan der befindet, den er sieht.[br]Natürlich krabbeln alle drei mit derselben konstanten Geschwindigkeit.[br]Irgendwann erschlagen sich alle drei gleichzeitig im Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks.[br]Aber wie sieht die Kurve aus, die jeder von ihnen gekrabbelt ist?[br]Wie ist die Funktionsgleichung?[br]Wie lang ist der Weg, den jeder zurückgelegt hat?[br][br][br]等边三角形的三个角分别是 A、B、C。[br]每个角落都坐着一位印第安人。我称这些为 A′、B′、C′。[br]A′只看到 B′，B′只看到 C′，C′只看到 A′。[br]三人同时爬走，总是朝着他看到的人所在的方向走去。[br]当然，这三者爬行的速度都保持恒定。[br]在某个时刻，三者在等边三角形中心同时互相杀死。[br]但他们每个人爬过的曲线是什么样子？[br]函数方程是什么？[br]每个人走过的道路有多长？[br][br][url=https://www.onlinemathe.de/forum/Spiralkurve-im-gleichseitigen-Dreieck]https://www.onlinemathe.de/forum/Spiralkurve-im-gleichseitigen-Dreieck[/url]

20260719 修改自：[url=https://www.geogebra.org/u/hawe]hawe[/url] — 2020年3月23日 - 下午10:51 的 [url=https://www.geogebra.org/m/wuxfp4tm]Logarithmische Spirale im gleichseitigem Dreieck – GeoGebra[/url] [br]

[br][br]M1 = (0, 0)[br][br]a = 5[br][br][br]t=滑动条(0,1,dt)[br]赋值(t,0)[br][br]t变化时的脚本[br]如果(t==0,赋值(M1,(0,0)),赋值( M1, M1+t*(M2-M1) ))[br]如果(t==0,赋值(M2,(a,0)),赋值( M2, M2+t*(M3-M2) ))[br]如果(t==0,赋值(M3,(a / 2, sqrt(3)/2 * a)),赋值( M3, M3+t*(M1-M3)))[br][br][br][br]M2 = (5, 0)[br][br]#在上面的顶点[br]A=(((5)/(2)),((sqrt(3))/(2))*5)[br]#A = (2.5, 4.33013)[br]M3 = (2.5, 4.33013)[br][br]#系列点坐标[br]X = {1 / 20, 0.1485, 0.2918, 0.47413, 0.68796, 0.92434, 1.17341, 1.42498, 1.66913, 1.89688, 2.10074, 2.27524, 2.41714, 2.52563, 2.60212, 2.6499, 2.67367, 2.67889, 2.67118, 2.65575, 2.63697, 2.61817}[br]Y = {0, 0.00087, 0.00469, 0.01451, 0.03395, 0.06665, 0.11569, 0.18311, 0.26949, 0.37369, 0.49288, 0.62276, 0.75797, 0.89268, 1.02118, 1.13852, 1.24092, 1.32612, 1.39343, 1.44359, 1.47848, 1.50071}[br]Mxy=序列((X(k), Y(k)), k, 1, 长度(X))[br]#Mxy = {(0.05, 0), (0.1485, 0.00087), (0.2918, 0.00469), (0.47413, 0.01451), (0.68796, 0.03395), (0.92434, 0.06665), (1.17341, 0.11569), (1.42498, 0.18311), (1.66913, 0.26949), (1.89688, 0.37369), (2.10074, 0.49288), (2.27524, 0.62276), (2.41714, 0.75797), (2.52563, 0.89268), (2.60212, 1.02118), (2.6499, 1.13852), (2.67367, 1.24092), (2.67889, 1.32612), (2.67118, 1.39343), (2.65575, 1.44359), (2.63697, 1.47848), (2.61817, 1.50071)}[br][br][br]Mxy'=旋转(Mxy, 120°, ((a, 0) + A) / 3) [br]Mxy' = {(4.975, 0.0433), (4.925, 0.12817), (4.85004, 0.25036), (4.75037, 0.40335), (4.62662, 0.57881), (4.48011, 0.76718), (4.31311, 0.95836), (4.12893, 1.14251), (3.93205, 1.31076), (3.72794, 1.4559), (3.52278, 1.57286), (3.32306, 1.65903), (3.13501, 1.71432), (2.9641, 1.74092), (2.81457, 1.74291), (2.68907, 1.72562), (2.5885, 1.69501), (2.5121, 1.65693), (2.45766, 1.6166), (2.42194, 1.57815), (2.40111, 1.54445), (2.39126, 1.51705)}[br][br]#中点[br]M=((a, 0) + A) / 3[br]dt = 0.0001[br][br]#外三角形[br]t1=多边形((0, 0), (a, 0), A)[br]cD=线段((0, 0), (a, 0), t1)[br]f=线段((a, 0), A, t1)[br]g=线段(A, (0, 0), t1)[br]kc=sqrt(3) / 2 a / (a / 2)[br][br]Steigungsdreieck=多边形((0, 0), (a / 2, 0), M)[br]mx=线段((0, 0), (a / 2, 0), Steigungsdreieck)[br]m'=线段((a / 2, 0), M, Steigungsdreieck)[br]i=线段(M, (0, 0), Steigungsdreieck)[br]φ1=角度((a, y(M)), M, (0, 0))[br][br][br]a1=元素(近似数(解集($5, a'), 15), 1)[br][br]#三条螺旋线[br]c1=曲线(x(((a, 0) + A) / 3) + a1 ℯ^(-sqrt(3) t) cos(t), y(((a, 0) + A) / 3) + a1 ℯ^(-sqrt(3) t) sin(t), t, 0, 10)[br]#c1:(2.5 + 1649.83332 ℯ^(-√(3) t) cos(t), 1.44338 + 1649.83332 ℯ^(-√(3) t) sin(t))[br]a3=元素(近似数(解集($7, a'), 15), 1)[br][br]c3=曲线(x(((a, 0) + A) / 3) + a3 ℯ^(-sqrt(3) t) cos(t), y(((a, 0) + A) / 3) + a3 ℯ^(-sqrt(3) t) sin(t), t, 0, 10)[br]#c3:(2.5 + 43.85246 ℯ^(-√(3) t) cos(t), 1.44338 + 43.85246 ℯ^(-√(3) t) sin(t))[br]a2=元素(近似数(解集($9, a'), 15), 1)[br]#a2 = 62070.63386[br]# #9 a'⋅exp(-sqrt(3) (330°))sin( 330°) =-y(M)[br]#-1 / 2 a' ℯ^(-11 / 6 sqrt(3) π) = -5 / 6 sqrt(3)[br][br][br][br]c2=曲线(x(((a, 0) + A) / 3) + a2 ℯ^(-sqrt(3) t) cos(t), y(((a, 0) + A) / 3) + a2 ℯ^(-sqrt(3) t) sin(t), t, 0, 10)[br]#c2:(2.5 + 62070.63386 ℯ^(-√(3) t) cos(t), 1.44338 + 62070.63386 ℯ^(-√(3) t) sin(t))[br]φ2=角度((a, y(M)), M, (a, 0))[br][br] , text1 "Das gleichseitige Dreieck hat die drei Ecken A,B,C. In jeder Ecke sitzt ein Indianer. Diese bezeichne ich 2A2,2B2,2C2. 2A2 sieht nur 2B2,2B2 sieht nur 2C2 und 2C2 sieht nur 2A2. Alle drei krabbeln gleichzeitig los, jeder immer in die Richtung, in der sich momentan der befindet, den er sieht. Nat rlich krabbeln alle drei mit derselben konstanten Geschwindigkeit. Irgendwann erschlagen sich alle drei gleichzeitig im Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks. Aber wie sieht die Kurve aus, die jeder von ihnen gekrabbelt ist? Wie ist die Funktionsgleichung? Wie lang ist der Weg, den jeder zur ckgelegt hat?"[br]φ3=角度((a, y(M)), M, A)[br][br][br]Row Input Output[br]#1 phi(t):=(a' exp( k' t) cos(t),a' exp( k' t) sin(t)) phi(t):=(a' cos(t) ℯ^(k' t), a' ℯ^(k' t) sin(t))[br]#2 Steigungsdreieck t=0: M1 M (M1+M2)/2 [br]#3 k_c:= sqrt(3) / 2 a /(a/2) k_c:=sqrt(3)[br]#4 Verschiebe zur Berechnung der Stützpunkte M=(0,0), y-Koordinate [br]#5 a'⋅exp(-sqrt(3)φ_1)sin(φ_1) =-y(M) -1 / 2 a' ℯ^(-7 / 6 sqrt(3) π) = -5 / 6 sqrt(3)[br]#6 a_1:=元素(近似数(解集($5, a'), 15), 1) a_1:=exact(1649.83331886109)[br]#7 a'⋅exp(-sqrt(3)90°)sin(90°) =y(A)-y(M) a' ℯ^(-1 / 2 sqrt(3) π) = 5 / 3 sqrt(3)[br]#8 a_3:=元素(近似数(解集($7, a'), 15), 1) a_3:=exact(43.852459862508)[br]#9 a'⋅exp(-sqrt(3) (330°))sin( 330°) =-y(M) -1 / 2 a' ℯ^(-11 / 6 sqrt(3) π) = -5 / 6 sqrt(3)[br]#10 a_2:=元素(近似数(解集($9, a'), 15), 1) a_2:=exact(62070.6338608689)[br]#11 [br]Created with GeoGebra