[b][u][color=#1e84cc][size=150]Conjuntos de nivel.[/size][/color][/u][/b][br][br]El conjunto de nivel de una función de varias variables [math]f[/math] a nivel [math]N[/math]es el conjunto de puntos de su dominio dónde [math]f[/math] toma el valor [math]N[/math]. Formalmente,[br][br][b]Conjunto de nivel de [math]f[/math] a nivel [math]N[/math][/b] = [math][br]\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in D\subset\mathbb{R}^{n}:f(x_{1},\ldots,x_{n})=N\},[br][/math][br][br]donde [math]D[/math] es el dominio de [math]f[/math]. Usualmente se escribe como [math]\{f=N\}[/math] o [math]f=N[/math]. Otra forma de decir esto es que el conjunto de nivel es la preimagen del valor [math]N[/math] por la función [math]f[/math], es decir [math]f^{-1}(N)[/math].[br][br]Hagámos algunas consideraciones dependiendo del número de variables de la función.[br][br]Para funciones de una variable [math]f(x)[/math], el conjunto de nivel es típicalmente un conjunto discreto de puntos. Aquí [i]típicamente[/i] quiere decir que la aseveración es correcta para la [i]mayoría[/i] de los [i]niveles[/i] que consideremos. [br][br]Por ejemplo el conjuntos de nivel de [math]f(x)=x^{2}[/math] a nivel [math]N[/math], es el conjunto [math]\{x:x^{2}=N\}[/math], o la raíces de [math]x^{2}-N[/math]. Concretamente:[list]Si [math]N>0[/math] el conjunto de nivel consiste de los puntos [math]\{x=\sqrt{N},x=-\sqrt{N}\}[/math].[br]Si [math]N=0[/math] consiste solamente del punto [math]\{x=0\}[/math][br]Si [math]N<0[/math] es igual al conjunto vacío, el conjunto de nivel no tiene puntos.[/list]De las misma forma, para un polinomio de grado [math]m[/math], el conjunto de nivel tiene a los más [math]m[/math]-puntos por cada nivel.[br][br][b][color=#ff7700]Ejemplo.[/color][/b] En la figura debajo y en rojo, se muestra el gráfico del polinomio de grado 5, [math]p(x)=(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)[/math]. Al deslizar el nivel [math]N[/math] se muestran en rojo los puntos del conjunto de nivel. En este caso ningún conjunto de nivel es vacío.

Para funciones de dos variables [math]f(x,y)[/math] diferenciables, los conjuntos de nivel son típicamente curvas. Por esa razón, se los denominan habitualmentecurvas de nivel aunque estríctamente hablando no tienen porqué ser curvas. Aquí, nuevamente, típicamente quiere decir para la "[i]mayoría" [/i]de los niveles[i]. [/i]En algunas instancias y para algunos niveles, el conjunto de nivel puede ser una curva con autointersecciones, puede ser un punto, o puede ser vacío (o puede ser algo peor!). [br][br][b][color=#ff7700]Ejemplo.[/color][/b] Debajo se estudian las curvas de nivel de la función [math]f(x,y)=xy[/math]. Cuando el nivel no es cero, las curvas de nivel son hipérbolas. Cuando el nivel es cero el conjunto de nivel es la union de dos rectas que se intersectan, la recta [math]\{x=0\}[/math] y la recta [math]\{y=0\}[/math]. Veremos luego que situaciones así indican la presencia de puntos críticos en el conjunto de nivel (¿Denominaría al conjunto de nivel xy=0, como un curva?).[br][br]Debajo: En celeste se despliega el plano a nivel [math]N[/math] y la curva de nivel a ese nivel [math]N[/math]. En rojo se muestra el vector gradiente en punto de dicha curva de nivel. En negro se muestra la intersección del plano de nivel con el gráfico. La proyección de dicha curva sobre el plano x-y es la curva de nivel celeste. En verde se ve la familia de curvas de nivel.