Vamos a construir un ejemplo de una función que sea derivable en un punto, pero cuya derivada no sea continua en ese punto. Así demostraremos que el recíproco de la afirmación[br][br][center][math]\Large f'\text{ continua en }a\implies f\text{ derivable en }a[/math][/center][b]no es cierto.[br][br][/b][center][/center]Consideremos la función:[br][br][center][math]\Large f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\dfrac1x\right),&x\neq 0\\ 0,&x=0\end{cases}[/math][/center][b]1. Estudiamos la continuidad en x = 0[/b][br][br]Para que la función sea continua en x = 0, debe cumplirse: [math]\Large \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)[/math][br][br]Sabemos que: [math]\Large -1\leq\sin\left(\frac1x\right)\leq 1[/math][br][br]Multiplicando por x²: [math]\Large -x^2\leq x^2\sin\left(\frac1x\right)\leq x^2[/math][br][br]Como los dos extremos tienden a cero, aplicando el teorema del sándwich:[br][br][center][math]\Large \lim_{x\to0}f(x)=0=f(0)[/math][/center][br]Por tanto, la función es continua en x = 0.[br][br][b]2. Estudiamos la derivabilidad en x = 0[/b][br][br]Aplicamos la definición de derivada: [math]\Large f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}h[/math][br][br]Sustituyendo:[br] [center][math]\Large f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h^2\sin(1/h)}h = \lim_{h\to0}h\sin\left(\frac1h\right)[/math][/center]Como: [math]\Large -|h|\leq h\sin\left(\frac1h\right)\leq |h|[/math][br][br]Otra vez usando el teorema del sándwich vemos que: [math]\Large f'(0)=0[/math][br][br]Por tanto, [b]la función es derivable en x = 0[/b].[br][br][b]3. Calculamos la función derivada[/b][br][br]Para x distinto de cero, aplicamos las reglas de derivación:[br][br][center][math]\Large f'(x)=2x\sin\left(\frac1x\right)+x^2\cos\left(\frac1x\right)\left(-\frac1{x^2}\right)[/math][/center][br][br]Simplificando:[br][br][center][math]\Large f'(x)=2x\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)[/math][/center][br][br]Por tanto, la función derivada es:[br][br][center][math]\Large f'(x)=\begin{cases}2x\sin\left(\dfrac1x\right)-\cos\left(\dfrac1x\right),&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}[/math][/center][br][br][b]4. Estudiamos la continuidad de la derivada en x = 0[/b][br][br]Para que la derivada sea continua en x = 0, debe cumplirse:[br][br][center][math]\Large \lim_{x\to0}f'(x)=f'(0)=0[/math][/center][br][br]Calculamos:[br][br][center][math]\Large \lim_{x\to0}\left[2x\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)\right][/math][/center][br][br]El primer término tiende a cero:[br][br][center][math]\Large \lim_{x\to0}2x\sin\left(\frac1x\right)=0[/math][/center][br][br]Sin embargo, el segundo término no tiene límite:[br][br][center][math]\Large \nexists\lim_{x\to0}\cos\left(\frac1x\right)[/math][/center][br][br]Esto ocurre porque el coseno oscila indefinidamente entre −1 y 1 cuando x se aproxima a cero.[br][br]Por tanto:[br][br][center][math]\Large \nexists\lim_{x\to0}f'(x)[/math][/center][br][br]En consecuencia, [b]la derivada no es continua en x = 0[/b].[br][br][b]5. Conclusión[/b][br][br]Hemos encontrado una función que cumple:[br][br][center][/center][center][math]\Large f'(0)=0[/math][/center][br][br]pero:[br][br][center][math]\Large \nexists\lim_{x\to0}f'(x)[/math][/center][br][br]Por tanto, hemos demostrado que:[br][br][center][math]\Large f\text{ derivable en }a\;\not\Rightarrow\;f'\text{ continua en }a[/math][/center][br][br][b]Importante:[/b] La continuidad de la derivada es una condición suficiente, pero no necesaria, para la derivabilidad de una función.[br][br]Por ello, cuando estudiamos la derivabilidad de una función definida a trozos, calcular los límites laterales de las derivadas de cada tramo no siempre permite decidir si la función es derivable. Si estos límites no existen, puede ser necesario recurrir a la definición de derivada.