Si [b][color=#ff0000]P[/color][/b] y [color=#ff7700][b]Q[/b][/color] son [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Conjugados_Isogonales.html]conjugados isogonales[/url] respecto de [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color], comparten su [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/CirculoPedal_RectaSimson.html]circunferencia pedal[/url] [color=#ff00ff][b]ω[/b][/color], que tiene centro en el punto medio [color=#ff00ff][b]M[/b][/color] de [color=#ff0000][b]P[/b][/color] y [color=#ff0000][b]Q[/b][/color].[br][br]En la demostración se usa la [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/PotenciaPuntoCircunferencia.html]potencia[/url] de los vértices respecto a una circunferencia. Nótese que no es suficiente ver que cada conjunto de cuatro puntos son concíclicos, podría tratarse de tres circunferencias distintas. Que tengan el mismo centro [color=#ff00ff][b]M[/b][/color], intersección de las mediatrices de los segmentos determinados por las proyecciones [b]{[color=#ff0000]P[sub]a[/sub][/color], [color=#ff7700]Q[sub]a[/sub][/color]}[/b], [b]{[color=#ff0000]P[sub]b[/sub][/color], [color=#ff7700]Q[sub]b[/sub][/color]}[/b] y [b]{[color=#ff0000]P[sub]c[/sub][/color],[color=#ff7700]Q[sub]c[/sub][/color]}[/b] de [color=#ff0000][b]P[/b][/color] y [color=#ff7700][b]Q[/b][/color], y por tanto punto medio de estos, garantiza que se trata de la misma circunferencia.

Otra propiedad interesante de los conjugados isogonales es que los simétricos [color=#ff0000][b]{P'a, P'b, P'c}[/b][/color] de [b][color=#ff0000]P[/color][/b] respecto de los lados del triángulo están en una misma circunferencia [color=#ff0000][b]ω[sub]P[/sub][/b][/color] de centro [b][color=#ff7700]Q[/color][/b], homotética de [color=#ff00ff][b]ω[/b][/color] respecto de [color=#ff0000][b]P[/b][/color] con razón [b]2[/b]. Y recíprocamente, los simétricos de [color=#ff7700][b]Q[/b][/color] están en una circunferencia [b][color=#ff7700]ω[sub]Q[/sub][/color][/b] de centro [color=#ff0000][b]P[/b][/color], homotética de [b][color=#ff00ff]ω[/color][/b] respecto de [b][color=#ff7700]Q[/color][/b] con razón [b]2[/b].[br][br]Pueden moverse los vértices de [color=#0000ff][b]△AB[/b]C[/color], así como el punto [color=#ff0000][b]P[/b][/color]. Si este es exterior, y por tanto también [color=#ff7700][b]Q[/b][/color], la figura puede resultar algo confusa, pero los resultados subsisten.