-
Symmetrie in het Alhambra
-
1. Behangpatroongroepen
- Decoratie
-
2. metselwerk en vloertegels
- lineair symmetriepatroon
- metselwerk
- vierkante vloertegels - 1
- opgedeelde vierkanten
- tegelvloer in visgraatpatroon
- vloerfantasie
-
3. Geen rotatie
- groepen zonder rotatie
- groep cm
- groep pm
- groep pg
- groep p1
-
4. Rotatie over 180°
- groepen met rotatie over 180°
- groep pmm
- groep cmm
- groep pmg
- groep pgg
- groep p2
-
5. Rotatie over 120°
- groepen met rotatie over 120°
- groep p3m1
- groep p31m
- groep p3
-
6. Rotatie over 90°
- groepen met rotatie over 90°
- groep p4m
- groep p4g
- groep p4
-
7. Rotatie over 60°
- groepen met rotatie over 60°
- groep p6m
- groep 6
-
8. Onderzoek zelf de symmetrieën
- Symmetrieën - opgave 1
- Symmetrieën - opgave 2
- Symmetrieën - opgave 3
- Symmetrieën - opgave 4
- Symmetrieën - opgave 5
- Symmetrieën - opgave 6
- Symmetrieën - opgave 7
- symmetrieën - opgave 8
- symmetrieën - opgave 9
- Symmetrieën - opgave 10
-
9. Het geheel en de delen
- Een muur vol symmetrie
- Het hoofdmotief
- Een krans rond de hoofdfiguur
- Het basispatroon
-
10. Een kwestie van kleur
- Een vierkant basismotief
- Vierkanten van 4 of 9 vierkanten
This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?
This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?
This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?
Symmetrie in het Alhambra
chris cambré, Jan 22, 2016
Wat zijn behangpapiergroepen? Hoe kan je ze identificeren en hoe stel je ze schematisch voor? Een onderzoek met applets en foto's vanuit de de decoratieve motieven van het Alhambra in Granada. In het GeoGebraboek Alhambra met passer lineaal en GeoGebra vind je meer informatie over de meetkundige opbouw van verschillende motieven. Een systematisch overzicht van de behangpapiergroepen vind je op behangpapiergroepen. In het boek Escher en het ALhambra lees je hoe Escher in het Alhambra de inspiratie haalde voor zijn tekeningen met dieren.
Table of Contents
- Behangpatroongroepen
- Decoratie
- metselwerk en vloertegels
- lineair symmetriepatroon
- metselwerk
- vierkante vloertegels - 1
- opgedeelde vierkanten
- tegelvloer in visgraatpatroon
- vloerfantasie
- Geen rotatie
- groepen zonder rotatie
- groep cm
- groep pm
- groep pg
- groep p1
- Rotatie over 180°
- groepen met rotatie over 180°
- groep pmm
- groep cmm
- groep pmg
- groep pgg
- groep p2
- Rotatie over 120°
- groepen met rotatie over 120°
- groep p3m1
- groep p31m
- groep p3
- Rotatie over 90°
- groepen met rotatie over 90°
- groep p4m
- groep p4g
- groep p4
- Rotatie over 60°
- groepen met rotatie over 60°
- groep p6m
- groep 6
- Onderzoek zelf de symmetrieën
- Symmetrieën - opgave 1
- Symmetrieën - opgave 2
- Symmetrieën - opgave 3
- Symmetrieën - opgave 4
- Symmetrieën - opgave 5
- Symmetrieën - opgave 6
- Symmetrieën - opgave 7
- symmetrieën - opgave 8
- symmetrieën - opgave 9
- Symmetrieën - opgave 10
- Het geheel en de delen
- Een muur vol symmetrie
- Het hoofdmotief
- Een krans rond de hoofdfiguur
- Het basispatroon
- Een kwestie van kleur
- Een vierkant basismotief
- Vierkanten van 4 of 9 vierkanten
Behangpatroongroepen
Elke decoratie lijkt net weer iets anders dan de vorige. Hoe worden decoraties opgebouwd, hoe kan je ze vergelijken? In de 19e eeuw bewezen wiskundigen dat je alle decoratieve patronen kunt onderbrengen in 17 groepen. Een systematisch onderzoek van de verschillende behangpapiergroepen vind je in het boek https://www.geogebra.org/m/VN5CGgXQ
-
1. Decoratie
Decoratie
Je kunt het Alhambra in Granada bezoeken vanuit een interesse in kunst, een interesse in geschiedenis, een interesse in wiskunde...
Op welke manier je het ook bezoekt, je wordt gegarandeerd omvergeblazen door de fabelachtige decoratie. Van de herhaling van een eenvoudige motiefje tot ingenieus in elkaar vervlochten patronen met spiegelingen en draaiingen, telkens is het resultaat weer net iets anders dan in de vorige zaal.
In dit GeoGebraboek onderzoeken we hoe deze patronen opgebouwd worden
Behangpapierpatronen
De wandbedekkende patronen noemen we behangpapierpatronen.
De patronen vertrekken telkens vanuit een basismotief waarop een of meerdere transformaties worden toegepast. Deze transformaties zijn: verschuiving, spiegeling, glijspiegeling en draaiing.
Behangpatroongroepen
Wiskundige bogen zich over verschillen en gelijkenissen tussen deze patronen en deelden ze in 17 groepen in.
Elke groep wordt bepaald door een combinatie van de toegepaste transformaties. In de volgende hoofdstukken bekijken we de verschillende groepen. Om de aard van de transformaties schematisch voor te stellen, gebruiken we volgende legende:
Zo wordt in onderstaand voorbeeld het basismotief omschreven door de gele rechthoekige driehoek links onderaan.
De driehoek wordt horizontaal en een verticaal gespiegeld tot een basisruit (of een vierkant wanneer de driehoek gelijkbenig is). Deze basisruit wordt telkens herhaald in een wandbedekkend patroon.
Een voorbeeld van dit patroon vinden we in het Alhambra als:
Je kunt de 17 behangpatroongroepen identificeren aan de hand van deze tabel.
metselwerk en vloertegels
Eenvoudig metselswerk en vloertegels zijn interessant studiemateriaal om symmetrieën te verkennen. We gebruiken ze als opstapje voor we de meer ingewikkelde patronen onder de loep nemen.
-
1. lineair symmetriepatroon
-
2. metselwerk
-
3. vierkante vloertegels - 1
-
4. opgedeelde vierkanten
-
5. tegelvloer in visgraatpatroon
-
6. vloerfantasie
lineair symmetriepatroon
De eenvoudigste symmetriepatronen zijn lineaire patronen.
Een basismotief wordt herhaald in een rij als afboording van een wand.
In onderstaand applet kan je onderzoeken hoe je symmetrie door verschuiving en spiegeling terugvindt.
groepen zonder rotatie
In deze groep kunnen we 4 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
groepen met rotatie over 180°
In deze groep kunnen we 5 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
groepen met rotatie over 120°
In deze groep kunnen we 3 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
groepen met rotatie over 90°
In deze groep kunnen we 3 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
groepen met rotatie over 60°
In deze groep kunnen we 2 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
Onderzoek zelf de symmetrieën
Experimenteer zelf met versleepbare rechten en punten om spiegelingen en rotaties te ontdekken en controleer je bevindingen
-
1. Symmetrieën - opgave 1
-
2. Symmetrieën - opgave 2
-
3. Symmetrieën - opgave 3
-
4. Symmetrieën - opgave 4
-
5. Symmetrieën - opgave 5
-
6. Symmetrieën - opgave 6
-
7. Symmetrieën - opgave 7
-
8. symmetrieën - opgave 8
-
9. symmetrieën - opgave 9
-
10. Symmetrieën - opgave 10
Symmetrieën - opgave 1
In onderstaand applet kan je de verschillende symmetrieën onderzoeken:
- verschuiving:
In een behangpapierpatroon wordt een basisfiguur (vierkant, ruit...) herhaald. Er is altijd een passende verschuiving te vinden. Versleep de eindpunten van de vector om een passende verschuiving te definiëren.
- spiegeling:
Versleep één of beide punten op de spiegelrechte om de richting te veranderen en versleep de rechte om ze evenwijdig te verplaatsen.
- rotatie:
Vul een draaihoek in en versleep het groene punt om mogelijke draaipunten terug te vinden.
- glijspiegeling:
Zoek of er, verschillend van de eventuele spiegelassen, eventuele bijkomende glijspiegelassen zijn door de spiegelas te verslepen en met de randpunten de bijhorende vector te bepalen.
In het tweede applet kan je controleren welke symmetrieën er zijn.
Oplossing:
Een muur vol symmetrie
Deze muur in het Alhambra is niet opgebouwd uit één motief. Het basispatroon bestaat uit meerdere patroontjes, die elk barsten van de symmetrie.
Welke symmetrieën bezitten de samenstellende delen en welke symmetrieën bezit het basispatroon?
De meest opvallende figuur is een zestienhoekige blauwe ster, omgeven door zestien zwarte onregelmatige zeshoeken.
In een krans hierrond zien we een gelijkaardige figuur. Maar nu gaat het om een achthoekige blauwe ster, omgeven door afwisselend groene en bruine onregelmatige zeshoeken, .
Een vierkant basismotief
Deze wand in het Alhambra is opgebouwd uit een heel eenvoudig vierkant motief.
De symmetrie ligt voor de hand: draaisymmetrie over 90° door de middelpunten van de vierkanten en horizontale, verticale en diagonale symmetrieassen door deze middelpunten.
Dezelfde symmetrieën vind je ook terug in de middelpunten van de achthoekige sterren.
Maar dan verliezen we natuurlijk de kleuren uit het oog.
Onderzoek welke symmetrieën kleur op kleur afbeelden.
Saving…
All changes saved
Error
A timeout occurred. Trying to re-save …
Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.