Symmetrie in het Alhambra

chris cambré, Jan 22, 2016

Wat zijn behangpapiergroepen? Hoe kan je ze identificeren en hoe stel je ze schematisch voor? Een onderzoek met applets en foto's vanuit de de decoratieve motieven van het Alhambra in Granada. In het GeoGebraboek [url=https://www.geogebra.org/m/acq9cpp3]Alhambra met passer lineaal en GeoGebra[/url] vind je meer informatie over de meetkundige opbouw van verschillende motieven.

Table of Contents

  1. Behangpatroongroepen
    1. Decoratie
  2. metselwerk en vloertegels
    1. lineair symmetriepatroon
    2. metselwerk
    3. vierkante vloertegels - 1
    4. opgedeelde vierkanten
    5. tegelvloer in visgraatpatroon
    6. vloerfantasie
  3. Geen rotatie
    1. groepen zonder rotatie
    2. groep cm
    3. groep pm
    4. groep pg
    5. groep p1
  4. Rotatie over 180°
    1. groepen met rotatie over 180°
    2. groep pmm
    3. groep cmm
    4. groep pmg
    5. groep pgg
    6. groep p2
  5. Rotatie over 120°
    1. groepen met rotatie over 120°
    2. groep p3m1
    3. groep p31m
    4. groep p3
  6. Rotatie over 90°
    1. groepen met rotatie over 90°
    2. groep p4m
    3. groep p4g
    4. groep p4
  7. Rotatie over 60°
    1. groepen met rotatie over 60°
    2. groep p6m
    3. groep 6
  8. Onderzoek zelf de symmetrieën
    1. Symmetrieën - opgave 1
    2. Symmetrieën - opgave 2
    3. Symmetrieën - opgave 3
    4. Symmetrieën - opgave 4
    5. Symmetrieën - opgave 5
    6. Symmetrieën - opgave 6
    7. Symmetrieën - opgave 7
    8. symmetrieën - opgave 8
    9. symmetrieën - opgave 9
    10. Symmetrieën - opgave 10
  9. Het geheel en de delen
    1. Een muur vol symmetrie
    2. Het hoofdmotief
    3. Een krans rond de hoofdfiguur
    4. Het basispatroon
  10. Een kwestie van kleur
    1. Een vierkant basismotief
    2. Vierkanten van 4 of 9 vierkanten

1.

Behangpatroongroepen

Elke decoratie lijkt net weer iets anders dan de vorige. Hoe worden decoraties opgebouwd, hoe kan je ze vergelijken? In de 19e eeuw bewezen wiskundigen dat je alle decoratieve patronen kunt onderbrengen in 17 groepen.

  • 1. Decoratie

1.1.

Decoratie

Je kunt het Alhambra in Granada bezoeken vanuit een interesse in kunst, een interesse in geschiedenis, een interesse in wiskunde...[br]Op welke manier je het ook bezoekt, je wordt gegarandeerd omvergeblazen door de fabelachtige decoratie. Van de herhaling van een eenvoudige motiefje tot ingenieus in elkaar vervlochten patronen met spiegelingen en draaiingen, telkens is het resultaat weer net iets anders dan in de vorige zaal. [br]In dit GeoGebraboek onderzoeken we hoe deze patronen opgebouwd worden
Behangpapierpatronen
De wandbedekkende patronen noemen we behangpapierpatronen. [br]De patronen vertrekken telkens vanuit een basismotief waarop een of meerdere transformaties worden toegepast. Deze transformaties zijn: verschuiving, spiegeling, glijspiegeling en draaiing. 
Behangpatroongroepen
Wiskundige bogen zich over verschillen en gelijkenissen tussen deze patronen en deelden ze in 17 groepen in.[br]Elke groep wordt bepaald door een combinatie van de toegepaste transformaties. In de volgende hoofdstukken bekijken we de verschillende groepen. Om de aard van de transformaties schematisch voor te stellen, gebruiken we volgende legende:
Zo wordt in onderstaand voorbeeld het basismotief omschreven door de gele rechthoekige driehoek links onderaan. [br]De driehoek wordt horizontaal en een verticaal gespiegeld tot een basisruit (of een vierkant wanneer de driehoek gelijkbenig is). Deze basisruit wordt telkens herhaald in een wandbedekkend patroon.
Een voorbeeld van dit patroon vinden we in het Alhambra als:
Je kunt de 17 behangpatroongroepen identificeren aan de hand van deze tabel.
– chris cambré

2.

metselwerk en vloertegels

Eenvoudig metselswerk en vloertegels zijn interessant studiemateriaal om symmetrieën te verkennen. We gebruiken ze als opstapje voor we de meer ingewikkelde patronen onder de loep nemen.

  • 1. lineair symmetriepatroon
  • 2. metselwerk
  • 3. vierkante vloertegels - 1
  • 4. opgedeelde vierkanten
  • 5. tegelvloer in visgraatpatroon
  • 6. vloerfantasie

2.1.

lineair symmetriepatroon

De eenvoudigste symmetriepatronen zijn lineaire patronen.[br]Een basismotief wordt herhaald in een rij als afboording van een wand.[br][br]In onderstaand applet kan je onderzoeken hoe je symmetrie door verschuiving en spiegeling terugvindt.
– chris cambré

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

3.

Geen rotatie

  • 1. groepen zonder rotatie
  • 2. groep cm
  • 3. groep pm
  • 4. groep pg
  • 5. groep p1

3.1.

groepen zonder rotatie

In deze groep kunnen we 4 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
– chris cambré

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

4.

Rotatie over 180°

  • 1. groepen met rotatie over 180°
  • 2. groep pmm
  • 3. groep cmm
  • 4. groep pmg
  • 5. groep pgg
  • 6. groep p2

4.1.

groepen met rotatie over 180°

In deze groep kunnen we 5 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
– chris cambré

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

5.

Rotatie over 120°

  • 1. groepen met rotatie over 120°
  • 2. groep p3m1
  • 3. groep p31m
  • 4. groep p3

5.1.

groepen met rotatie over 120°

In deze groep kunnen we 3 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
– chris cambré

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

6.

Rotatie over 90°

  • 1. groepen met rotatie over 90°
  • 2. groep p4m
  • 3. groep p4g
  • 4. groep p4

6.1.

groepen met rotatie over 90°

In deze groep kunnen we 3 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
– chris cambré

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

7.

Rotatie over 60°

  • 1. groepen met rotatie over 60°
  • 2. groep p6m
  • 3. groep 6

7.1.

groepen met rotatie over 60°

In deze groep kunnen we 2 groepen identificeren aan de hand van onderstaande tabel:
– chris cambré

7.2.

–

7.3.

–

8.

Onderzoek zelf de symmetrieën

Experimenteer zelf met versleepbare rechten en punten om spiegelingen en rotaties te ontdekken en controleer je bevindingen

  • 1. Symmetrieën - opgave 1
  • 2. Symmetrieën - opgave 2
  • 3. Symmetrieën - opgave 3
  • 4. Symmetrieën - opgave 4
  • 5. Symmetrieën - opgave 5
  • 6. Symmetrieën - opgave 6
  • 7. Symmetrieën - opgave 7
  • 8. symmetrieën - opgave 8
  • 9. symmetrieën - opgave 9
  • 10. Symmetrieën - opgave 10

8.1.

Symmetrieën - opgave 1

In onderstaand applet kan je de verschillende symmetrieën onderzoeken:[br]- [u]verschuiving[/u]: [br]In een behangpapierpatroon wordt een basisfiguur (vierkant, ruit...) herhaald. Er is altijd een passende verschuiving te vinden. Versleep de eindpunten van de vector om een passende verschuiving te definiëren.[br]- [u]spiegeling[/u]:[br]Versleep één of beide punten op de spiegelrechte om de richting te veranderen en versleep de rechte om ze evenwijdig te verplaatsen.[br]- [u]rotatie[/u]:[br]Vul een draaihoek in en versleep het groene punt om mogelijke draaipunten terug te vinden.[br]- [u]glijspiegeling[/u]:[br]Zoek of er, verschillend van de eventuele spiegelassen, eventuele bijkomende glijspiegelassen zijn door de spiegelas te verslepen en met de randpunten de bijhorende vector te bepalen.[br][br]In het tweede applet kan je controleren welke symmetrieën er zijn.
Oplossing:
– chris cambré

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

8.6.

–

8.7.

–

8.8.

–

8.9.

–

8.10.

–

9.

Het geheel en de delen

Sommige muren in het Alhambra zijn opgebouwd uit meerdere basismotieven, die een verschillende symmetrie bezitten.

  • 1. Een muur vol symmetrie
  • 2. Het hoofdmotief
  • 3. Een krans rond de hoofdfiguur
  • 4. Het basispatroon

9.1.

Een muur vol symmetrie

Deze muur in het Alhambra is niet opgebouwd uit één motief. Het basispatroon bestaat uit meerdere patroontjes, die elk barsten van de symmetrie.[br]Welke symmetrieën bezitten de samenstellende delen en welke symmetrieën bezit het basispatroon?
De meest opvallende figuur is een zestienhoekige blauwe ster, omgeven door zestien zwarte onregelmatige zeshoeken.[br]In een krans hierrond zien we een gelijkaardige figuur. Maar nu gaat het om een achthoekige blauwe ster, omgeven door afwisselend groene en bruine onregelmatige zeshoeken, .[br][br]
– chris cambré

9.2.

–

9.3.

–

9.4.

–

10.

Een kwestie van kleur

Een heel eenvoudig patroon kan verrassend boeiend worden wanneer je een aantal basismotieven op verschillende manieren groepeert.

  • 1. Een vierkant basismotief
  • 2. Vierkanten van 4 of 9 vierkanten

10.1.

Een vierkant basismotief

Deze wand in het Alhambra is opgebouwd uit een heel eenvoudig vierkant motief.[br]De symmetrie ligt voor de hand: draaisymmetrie over 90° door de middelpunten van de vierkanten en horizontale, verticale en diagonale symmetrieassen door deze middelpunten.[br]Dezelfde symmetrieën vind je ook terug in de middelpunten van de achthoekige sterren.
Maar dan verliezen we natuurlijk de kleuren uit het oog.[br]Onderzoek welke symmetrieën kleur op kleur afbeelden.
– chris cambré

10.2.

–

Information