Lugares geométricos
Table of Contents
- Puntos y rectas notables de un triángulo
- Mediatriz y Bisectriz
- Mediatriz
- Mediatriz como lugar geométrico
- Bisectriz
- Bisectriz como lugar geométrico
- Puntos y rectas notables de un triángulo. Recta de Euler
- Propiedades geométricas de los puntos notables de un triángulo
- 5 Orthocenter Things That Geometry Kids Should Know
- Circles Through Vertices and Orthocenter
- Reflections of the Orthocenter in the Sides of the Triangle
- Orthocenter and Pythagoras
- Orthocenter, Inradius, Circumradius
- 7 Incenter-related things every Geometry student should know
- Given the Center, Construct the Triangle
- Orthocenter and Altitude Construction Puzzles
- Otros puntos notables menos conocidos
- Incircle, Excircles, and the 9-Point Circle
- Incircle, Excircles, Gergonne and Nagel
- Incircle, Excircles, and Nagel Points
- Arco capaz y 2º Teorema de Tales. Problema de Steiner
- Arco capaz y 2º Teorema de Tales
- Problema de Steiner
- Cónicas
- Cónicas
- Copia de Secciones cónicas
- La circunferencia
- Elipse: ecuación, lugar geométrico y excentricidad
- Hipérbola: ecuación, lugar geométrico y excentricidad
- Párabola como lugar geométrico
- Explore Transformations of Horizontal Parabolas
- Ecuaciones de las cónicas
- Ecuación reducida de una cónica
- Cónicas y esferas de Dandelin
- Parabola and Dandelin Sphere
- Dandelin Spheres
- Dandelin Spheres - construction and eccentricity
- Dandelin Sphere Action!
- Curvas mecánicas
- Espiral de Arquímedes
- Tractriz
- pseudosphere
- Pseudosphere V1.1
- Sphere vs pseudosphere
- Cicloide
- Astroide
- Cardioide
- Epicicloide
- Epicicloide
- Diagrama de Voronoi y triangulación de Delaunay
- Diagramas de Voronoi y triangulación de Delaunay
Mediatriz y Bisectriz
La mediatriz de un segmento es, por tanto, el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de sus extremos.
La bisectriz de un ángulo es, por tanto, el lugar geométrico que están a la misma distancia de sus lados.
5 Orthocenter Things That Geometry Kids Should Know
The Orthocenter cuts each altitude into two parts whose products for each altitude are equal.
[size=200]AH x HF = CH x HD = BH x HE[/size]
Distance from Orthocenter to Vertex, Length of Opposite Side, Circumcircle Diameter
[size=200]AH[sup]2[/sup] + BC[sup]2[/sup] = BH[sup]2 [/sup]+ AC[sup]2[/sup] = CH[sup]2 [/sup]+ AB[sup]2[/sup] = Diameter[sup]2[/sup] [br][/size]
Distances from the Orthocenter to the Vertices.
[size=200]AH + BH + CH = Incircle Diameter + Circumcircle Diameter[/size]
Distances from the Orthocenter to the Vertices 2
[size=200]Distance from Orthocenter to Vertex = 2 x Distance from Circumcenter to opposite side[/size]
Orthocentric Quartet
[size=200]Given 3 points and their Orthocenter, any of the 4 points is the Orthocenter of the other 3 points.[/size]
Incircle, Excircles, and the 9-Point Circle
There are four circles tangent to three sides of a triangle...
And one circle tangent to all four circles.
Arco capaz y 2º Teorema de Tales
Cómo construir paso a paso el arco capaz de 36,8º sobre un segmento AB de 7'32 cm
1. Dibuja un ángulo de 36,8º con el transportador de ángulos, siendo uno de sus lados segmento AB.[br]2. Traza la mediatriz del segmento AB.[br]3. Intersécala con la perpendicular al otro lado que pasa por B, llama a ese punto O.[br]4. Traza el mayor arco de circunferencia con centro en O y radio OB.[br]5. Comprueba que cualquier ángulo inscrito en el arco mide 36,8º.[br][br][br]
Cónicas
Definición
Se denomina sección cónica (o simplemente [b]cónica[/b]) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano.[br][br]Dependiendo de la inclinación del plano, se tiene 4 tipos: [b]circunferencia, elipse, parábola [/b]y [b]hipérbola.[/b][br][center][img]http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Las_conicas_como_lugares_geometricos/secciones_conicas.jpg[/img][/center]
Aplicaciones
[b]Astronomía[br][br][/b]En el espacio, dos cuerpos experimentan una fuerza debido a la [b]ley de gravitación universal[/b], que les hace moverse en una trayectoria como una [i]elipse[/i].[br][br][center][img]http://www.paranauticos.com/Diccionario/S/imagenes/solsticio-equinoccio.jpg[/img][/center][b]Movimiento parabólico[/b][br][br]En algunos casos particulares, se producen movimientos que dibujan este tipo de curvas en el espacio: [i]parábolas[/i].[br][br][center][img]http://laplace.us.es/wiki/images/f/f5/Tiro-parabolico-08.png[/img][br][br][img]http://www.dicyt.com/data/45/26545.jpg[/img][/center][b]Sistemas de Navegación[br][br][/b]Durante mucho tiempo se utilizó un sistema de navegación (LORAN) basado en la ubicación de los barcos mediante las señales, que describen una forma [i]hiperbólica[/i].[br][br][center][img]http://perso.ya.com/jmreyes/imagenes/loran.gif[/img][/center]
Parabola and Dandelin Sphere
Espiral de Arquímedes
Diagramas de Voronoi y triangulación de Delaunay
El diagrama de Voronoi debe su nombre al matemático Gueorgui Voronoi, que fue supervisor de la tesis doctoral de Boris Delaunay en la universidad de San Petersburgo. A su vez, Voronoi fue alumno de Andrei Markov, discípulo de Chebyshev. Estos dos últimos tuvieron gran relevancia en el área de la probabilidad, mientras que los dos primeros la tuvieron en geometría.[br]De arriba a abajo: Chebyshev, Markov, Voronoi y Delaunay.
Chebyshev
Markov
Voronoi
Delaunay
[b]Dale al botón Play[/b] de la animación y disfruta de la belleza y armonía de la geometría, presente en la naturaleza.
Mueve los puntos del siguiente applet y observa cómo cambia el [b]diagrama de Voronoi[/b].[br]Se han clasificado en dos grupos, rojos y azules, porque la construcción del diagrama de Voronoi se ha hecho mediante el algoritmo "Divide y vencerás" ("Divide and conquer" en inglés). [br][br]También puedes ver la [b]triangulación de Delaunay[/b], que tiene muchas aplicaciones y propiedades; por ejemplo, en los gráficos 3D por ordenador, como veremos a continuación. La triangulación de Delaunay de un conjunto de puntos es, por definición, aquella que cumple la condición de que cada circunferencia circunscrita a cada triángulo (de la triangulación) no contiene vértices (de la triangulación) en su interior. [br]Se puede demostrar que la triangulación de Delaunay se obtiene uniendo el nodo de cada región de Voronoi con los nodos de las regiones vecinas.[br]
Propiedad de la triangulación de Delaunay
De entre todas las triangulaciones posibles de un conjunto dado de puntos del plano, la triangulación de Delaunay maximiza el ángulo mínimo (los ángulos de los triángulos de la triangulación son menos agudos).[br]Es decir, la triangulación de Delaunay es la más equiangular de entre todas las triangulaciones posibles.
Interpolación en 2D y 3D
Gran importancia tiene la triangulación de Delaunay en la interpolación en 2D y 3D, así como en el diseño de gráficos 3D por ordenador, como se puede inferir.[br][br]En la siguiente imagen vemos cómo en la interpolación izquierda hay cuatro puntos negros (prefijados) muy cerca del rojo (uno nuevo adicional) y, sin embargo, no se interpola el rojo mediante ellos, sino mediante otros puntos negros que están mucho más alejados de él. En la interpolación de Delaunay el punto rojo es interpolado por los negros más cercanos a él.[br][br]En la imagen posterior podemos observar cómo la triangulación de Delaunay de un paralelogramo escoge la que produce los triángulos más equiláteros (sólo hay dos posibles triangulaciones de este cuadrilátero), y ello trae consigo una mejor interpolación en 3D.[br][br]En la última, se fija un conjunto de puntos P = {p[sub]1[/sub], ..., p[sub]n[/sub]} del plano, p[sub]i[/sub] = (a[sub]i[/sub], b[sub]i[/sub], 0). Sea P* = {p*[sub]1[/sub], ..., p*[sub]n[/sub]} del espacio 3D con p*[sub]i[/sub] = (a[sub]i[/sub], b[sub]i[/sub], a[sub]i[/sub][sup]2[/sup]+b[sub]i[/sub][sup]2[/sup]),esto es, la proyección vertical de P en el paraboloide z = x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]. Entonces la triangulación de Delaunay de P es la proyección ortogonal en el plano z = 0 de la menor envolvente convexa en 3D de P*. Es decir, tres puntos p*[sub]i[/sub], p*[sub]j[/sub], p*[sub]k[/sub] forman una cara triangular de la menor envolvente convexa en 3D de P* si, y sólo si, p[sub]i[/sub], p[sub]j[/sub], p[sub]k[/sub] forman un triángulo de Delaunay.
