[size=150][color=#ff0000]LE FORMULE DI SOMMA[/color][/size][br]Le prime formule goniometriche che impariamo sono le formule di somma: conoscendo il seno ed il coseno di due angoli [math]\large{\alpha}[/math] e [math]\large{\beta}[/math], vogliamo usare questi valori per calcolare [math]\large{\sin(\alpha + \beta)}[/math] e [math]\large{\cos(\alpha + \beta)}[/math].[br][br]In questo paragrafo puoi trovare il ragionamento che ci permette di ottenere queste formule. Innanzitutto chiariamo subito che:[br][br][math]\large{\cos(\alpha + \beta) \Large{\textcolor{red}{\neq}} \cos \alpha + \cos \beta}[/math][br][br]La stessa cosa vale per seno e tangente: le formule che ci permettono di calcolare questi valori sono più complesse. [br][br][b][color=#ff0000]NON È SEMPLICE[/color][/b]. Ma ne vale la pena per due motivi:[br][list=1][*]è bello ed è furbo ([u]tutto sommato si tratta solo di saper guardare la figura![/u]), ed è sempre utile osservare qualcosa di intelligente![/*][*]dalle formule di somma otterremo, quasi gratuitamente, un sacco di altra roba. Quindi saremo ricompensati! ;)[/*][/list][br]Prima di iniziare, richiamiamo qui un'applicazione elementare di seno e coseno, che ci permette di ottenere i cateti di un triangolo rettangolo a partire dall'ipotenusa e da uno dei due angoli acuti. Questa applicazione verrà utilizzata in modo molto massiccio nel nostro ragionamento, quindi è necessario averla molto presente!

Fatta questa premessa, possiamo avventurarci alla scoperta delle formule goniometriche di somma.

Riepilogando quello che abbiamo trovato, abbiamo che:[br][br][math]\huge{\textcolor{red}{\sin(\alpha + \beta)} = \sin (\alpha)\cos (\beta) + \sin (\beta)\cos (\alpha)}[/math][br][br]cioè le formule di somma del [b][color=#ff0000]seno[/color][/b] sono una [b]somma[/b] di due termini, in ognuno dei quali [b]si mescolano i seni ed i coseni[/b] degli angoli interessati.[br][br][math]\huge{\textcolor{blue}{\cos(\alpha + \beta)} = \cos (\alpha)\cos (\beta) - \sin (\alpha)\sin (\beta)}[/math][br][br]cioè le formule di somma del [b][color=#0000ff]coseno[/color][/b] sono una [b]sottrazione[/b] di due termini: [b]il primo con i coseni[/b] ed il [b]secondo con i seni[/b] degli angoli interessati.[br][br]A partire da queste formule ne deriveremo molte altre.[br][br]Qui ci limitiamo ad ottenere [b]la formula di somma per la [color=#38761D]tangente[/color][/b]: dalle leggi fondamentali sappiamo che possiamo esprimere la tangente come seno su coseno, quindi abbiamo: [br][br][math]\Large{\textcolor{0,100,0}{\tan(\alpha + \beta)} = \frac{\textcolor{red}{\sin(\alpha + \beta)}}{\textcolor{blue}{\cos(\alpha + \beta)}} = \frac{\sin (\alpha)\cos (\beta) + \sin (\beta)\cos (\alpha)}{\cos (\alpha)\cos (\beta) - \sin (\alpha)\sin (\beta)}}[/math][br][br]per fare comparire delle tangenti nella formula dividiamo sia numeratore che denominatore per [math]\Large{\cos (\alpha)\cos (\beta)}[/math] ed otteniamo:[br][br][math]\Large{\textcolor{0,100,0}{\tan(\alpha + \beta)} =\frac{\frac{\sin (\alpha)\cos (\beta)}{\cos (\alpha)\cos (\beta)} + \frac{\sin (\beta)\cos (\alpha)}{\cos (\alpha)\cos (\beta)}}{\frac{\cos (\alpha)\cos (\beta)}{\cos (\alpha)\cos (\beta)} - \frac{\sin (\alpha)\sin (\beta)}{\cos (\alpha)\cos (\beta)}}}[/math][br][br]che, semplificando, ci dà la seguente formula:[br][br][math]\huge{\textcolor{0,100,0}{\tan(\alpha + \beta)} =\frac{\tan (\alpha) + \tan (\beta)}{1 - \tan (\alpha)\tan (\beta)}}[/math][br][br]La formula di somma per la tangente è meno usata di quella del seno e del coseno. Le altre formule che otterremo nel prossimo paragrafo sono invece molto più frequenti ed utilizzate.[br]