La siguiente pregunta que debe plantearse es: ¿cómo la forma general de la ecuación de una recta se generaliza a [math] \large R^{3}[/math]? Razonablemente puede suponer que si [math] \large ax+by+c [/math] es la forma general de la ecuación de una recta en [math] \large R^{2}[/math], entonces [math] \large ax+by+cz=d [/math] puede representar una recta en [math] \large R^{3}[/math]. En forma normal, esta ecuación sería [math] \large \vec{n}.\vec{x}=\vec{n}.p[/math], donde[math] \large \vec{n}[/math] es un vector normal a la recta y [math] \large p [/math] corresponde a un punto sobre la recta. [br]Para ver si esta es una hipótesis razonable, considere el caso especial de la ecuación [math] \large ax+by+cz=0 [/math]. En forma normal, se convierte en[math] \large \vec{n}.\vec{x}=0 [/math], donde [math]\large \vec{n}=\begin{pmatrix}[br]a\\ b[br]\\ c[br]\end{pmatrix} [/math]sin embargo, el conjunto de todos los vectores [math] \large \vec{x}[/math] que satisfacen esta ecuación es el conjunto de todos los vectores ortogonales a [math] \large \vec{n}[br][/math] que es infinito:[br]

[br]Como se muestra en la figura siguiente, vectores en infinitas direcciones tienen esta propiedad, lo que determina una familia de planos paralelos. De modo que la suposición fue incorrecta: parece que [math] \large ax+by+cz=d [/math] es la ecuación de un plano, no de una recta, en [math] \large R^{3}[/math]. Precisando más este hallazgo, todo plano en [math] \large R^{3} [/math] puede determinarse al especificar un punto p sobre el plano y un vector distinto de cero [math] \large \vec{n} [/math] normal al plano, si [math]\large \vec{x}[/math] representa un punto arbitrario sobre el plano, se tiene que [math] \large \vec{n}.(\vec{x}-p)=0 [/math] o [math] \large \vec{n}.\vec{x}=\vec{n}.p[/math] si [math]\large \vec{n}=\begin{pmatrix}[br]a\\ b[br]\\ c[br][br]\end{pmatrix} y \: \: \: \vec{x}=\begin{pmatrix}[br]x\\ y[br]\\ z[br]\end{pmatrix}[/math] entonces, en términos de componentes, la ecuación se convierte en [math] \large ax+by+cz=d [/math] (donde [math] \large \vec{d}=\vec{n}.p [/math]).Note que cualquier múltiplo escalar de un vector normal para un plano es otro vector normal.

[justify]Geométricamente, es claro que planos paralelos tienen los mismos vectores normales. Por tanto, sus ecuaciones generales tienen lados izquierdos que son múltiplos mutuos. De este modo, por ejemplo, [math]\large 2x+4y+6z=10 [/math] es la ecuación general de un plano que es paralelo al plano [math]\large x+2y+3z=3 [/math] de donde se ve que los dos planos tienen el mismo vector normal [math]\large \vec{n} [/math] . (Note que los planos no coinciden, pues los lados derechos de sus ecuaciones son distintos.) También se puede expresar la ecuación de un plano en forma vectorial o paramétrica. Para hacerlo, observe que un plano también puede determinarse al especificar uno de sus puntos P (por el vector p) y dos vectores directores u y v paralelos al plano (pero no mutuamente paralelos), dado cualquier punto X en el plano (ubicado por x), siempre se pueden encontrar múltiplos adecuados su y tv de los vectores directores tales que [math]\large \vec{x}-p=s\vec{u}+t\vec{v} [/math] ó [math]\large \vec{x}=p + s\vec{u}+t\vec{v} [/math] Si esta ecuación se escribe en forma de componentes, se obtienen ecuaciones paramétricas para el plano.[/justify]