Wie schon erwähnt, gilt in der [b]euklidischen Geometrie[/b] ein [b][color=#00ffff]puristischer[/color][/b] Werkzeuggebrauch. In der heutigen Sicht auf Mathematik, liegt der Fokus auf dem [b]Problemlösen[/b]. [br]Der [b][color=#00ffff]puristische [/color][/b]Zugang mit einem [b][color=#00ffff]skalenlosen [/color][/b]Lineal und einem Klappzirkel macht die Würfelverdopplung zu einem unlösbaren Problem. [br]Während die Diagonale eines Quadrates -[b]zufällig[/b]- die neue Seitenlänge des neuen Quadrates mit doppeltem Flächeninhalt ist, gibt es beim Würfel eine solche Strecke nicht. [br]Weder die [b]Flächendiagonalen[/b] noch die [b]Raumdiagonalen[/b] haben die Seitenlänge, dessen Kubikzahl [b]genau doppelt [/b]so groß ist wie die des Ausgangswürfels mit der Kantenlänge a:[br][b]Flächendiagonale:[/b] [math]\sqrt{2}\cdot a\Rightarrow\sqrt{2}\cdot a\cdot\sqrt{2}\cdot a\cdot\sqrt{2}\cdot a=2\cdot\sqrt{2}\cdot a^3>2\cdot a^3[/math][br][b]Raumdiagonale:[/b] [math]\sqrt{3}\cdot a\Rightarrow\sqrt{3}\cdot a\cdot\sqrt{3}\cdot a\cdot\sqrt{3}\cdot a=3\cdot\sqrt{3}\cdot a^3>Flächendiagonale[/math][br]Da jedoch -laut der Überlieferung- das Leben der Menschen auf Delos von der Lösung des Problems abhängig war, musste eine Lösung gefunden werden, und die ist -salopp gesprochen- der Beginn dynamischer Geometriesoftware. Mit Hilfe von [b][color=#00ffff]dynamischen[/color][/b] Kurven ist dieses Problem lösbar, sogar auf unterschiedliche Arten. Eine der wohl ältesten Lösungen ist wohl eine Gemeinschaftsproduktion von [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Hippokrates_von_Chios]Hippokrates von Chios[/url] und [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Menaichmos_(Mathematiker)]Menaichmos[/url] (Schupp 2000). [br]Hippokrates von Chios wusste, dass die Konstruktion für die Gleichung x[sup]3 [/sup]= 2a[sup]3 [/sup]darauf hinausläuft, dass man zwei mittlere Proportionale (positive Zahlen als geometrische Mittelwerte, sieh Wurzelzieher) x und y bestimmen muss, so dass gilt: [math]\frac{x}{a}=\frac{y}{x}=\frac{2a}{y}[/math][br]Durch Umformung werden daraus zwei Gleichungen:[br](1)  [b][color=#ff0000]x[sup]2 [/sup]= a • y[/color][/b][br](2)  [b][color=#0000ff]y[sup]2 [/sup]= x•2a[/color][/b][br]Das (1) und (2) zwei [b]Parabeln[/b] sind, hat Menaichmos erkannt. Das folgende Applet zeigt, dass die Konstruktion der beiden Parabeln einen Schnittpunkt K (Konstruktionspunkt) haben, der -in einem geeigneten Koordinatensystem- die Strecke x erzeugt, die - nach heutiger Notation der Länge [math]\sqrt[3]{2}\cdot a[/math] entspricht. Weiter notwendige Umrechnungen befinden sich im Applet.

Die Konstruktionen von Parabeln erfolgte im antiken Griechenland mit Hilfe von Fadenkonstruktionen. Weder algebraische Umformungen noch das kartesische Koordinatensystem waren in der antiken Mathematik bekannt. Die Konstruktion von Kegelschnitten mit Hilfe von Brennpunkten und Leitlinien sind ein dynamischer Zugang, der heute im Mathematikunterricht -gerade in der Geometrie- sehr häufig verwendet wird. Wichtig ist zu bemerken, dass Euklid diese Problem niemals gelöst hätte, weil es mit seinen Methoden unlösbar ist. Damit ist die Sichtweise auf puristischen Werkzeuggebrauch auch eine Blockade für kreative Problemlösungen.

Mit dem Schalter Descartes kann man zeigen, dass die Konstruktionen nicht zwingend an zwei Parabeln gekoppelt ist. Die Gleichung. Durch Addition der Gleichungen (1) und (2) erhält man:[br](3)  [b] x[/b][sup]2[/sup][b] + [/b][color=#0000ff]y[/color][sup][color=#0000ff]2[/color] [/sup][b]= [/b][color=#ff0000]a•x[/color][b] + [/b][color=#0000ff]2a•y [/color][math]\Leftrightarrow[/math] ([b][color=#ff0000]x[sup]2[/sup][/color] - [/b][b][color=#ff0000]a•x)[/color] [/b][b]+ ([color=#0000ff]y[/color][color=#0000ff][sup]2 [/sup]-[/color][/b][b][color=#0000ff]2a•y) [/color][/b][sup] [/sup][b]= 0[br][/b][br]Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung lässt sich(3) umformen zu:[br](4)  ([b][color=#ff0000]x[sup]2[/sup][/color] - [/b][b][color=#ff0000]a•x [/color][color=#ff00ff]+[/color][math]\frac{1}{4}[/math][color=#ff00ff]a[sup]2[/sup][/color][color=#ff0000])[/color] [/b][b]+ ([color=#0000ff]y[/color][color=#0000ff][sup]2 [/sup]-[/color][/b][b][color=#0000ff]2a•y [/color][color=#ff00ff]+a[sup]2[/sup][/color][color=#0000ff]) [/color][/b][sup] [/sup][b]= [math]\frac{5}{4}a^2[/math][/b][justify]woraus man schließlich[/justify](5)  (x -[math]\frac{1}{2}[/math]a)[sup]2 [/sup]+ (y-a)[sup]2 [/sup]= [b] [math]\frac{5}{4}a^2[/math] [/b], was einen Kreis mit dem Radius r = [math]\frac{a}{2}\cdot\sqrt{5}[/math] beschreibt.[br]Der Mittelpunkt dieses Kreises hat - in einem geeigneten Koordinatensystem- die Koordinaten: M=(a|[math]\frac{a}{2}[/math])[br]Wie man bei Schupp (Schupp, 2000) nachlesen kann, hat dies Descartes als erstes entdeckt. [br]Eine der beiden Parabel lässt sich demnach durch einen solchen Kreis ersetzen, und der Schnittpunkt K ist derselbe, weil er die Koordinaten x[sub]K[/sub] und y[sub]K[/sub] hat. In der Applikation ist der Parabelpunkt [b][color=#0000ff]P[sub]4[/sub][/color][/b] so konstruieret.