Gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono supplementari.

Congiungiamo A e C con O, centro della circonferenza[br]Si formano due angoli al centro b1e d1 [br]b e d sono angoli alla circonferenza che insistono sugli stessi archi su cui insistono rispettivamente b1 e d1, quindi:[br]2b[math]\cong[/math]B1, 2d [math]\cong[/math] d1 [br]Sommiamo membro a membro: 2b + 2d [math]\cong[/math] b1+d1[br]Essendo b1 + d[math]\cong\left(Pi-greco\right)[/math] e raccogliendo il fattore 2 al primo membro:[br][math]2\left(b+d\right)\cong2\left(Pi-Greco\right)\longrightarrow B+d\cong\left(Pi-Greco\right)[/math][br]Congiungiamo B e D con O e ripetiamo le stesse considerazioni[br][math]2\left(a+y\right)\cong2\left(Pi-Greco\right)\longrightarrow a+y\cong\left(Pi-Greco\right)[/math][br][br]Il teorema precedente è una condizione necessaria per l’inscrivibilità di un quadrilatero in una circonferenza.[br]Si può dimostrare anche il teorema inverso, ossia la condizione sufficiente.

Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari allora è inscrivibile in una circonferenza.

Dobbiamo dimostrare che la circonferenza passante per B, C e D passa anche per A.[br]Ragioniamo per assurdo. Se, per assurdo, la circonferenza per B, C e D non passa per A, si hanno due casi possibili. [br]Osservando le figure notiamo che:[br][math]BED+BCD\cong\left(Pi-Greco\right)[/math] perchè angoli opposti in un quadrilatero inscritto in una circonferenza[br][math]BAD+BCD\cong\left(Pi-Greco\right)[/math]per ipotesi[br]Quindi BED e BAD sono congruenti, perché supplementari dello stesso angolo. D’altra parte, essi sono angoli corrispondenti fra le rette DA e DE, tagliate dalla trasversale AE. Le rette DA e DE, avendo angoli corrispondenti congruenti, risultano parallele, e ciò è in contraddizione con il fatto che hanno in comune il punto D. Quindi la circonferenza deve passare anche per il punto A.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza è che abbia gli angoli opposti supplementari.