MaTeGnu Modul 1: Differentialrechnung - Tierischer Einstieg
[color=#c51414][b][url=https://mategnu.de/m/rp1.pdf]STARTEN SIE MIT DER REIHENÜBERSICHT ZUM MODULBUCH[/url][/b][/color] [color=#888888]Die gemeinsame Fortbildungsinitiative [b]MaTeGnu[/b] des Ministeriums für Bildung und der Arbeitsgruppe Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen) der Rheinland-Pfälzischen Technischen Universität Kaiserslautern-Landau (RPTU) zielt auf die fachbezogene Entwicklung von Unterrichtsqualität und digitalen Kompetenzen im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe aller allgemeinbildenden Schulen in Rheinland-Pfalz. Die beiden Schwerpunkte der Maßnahme sind Verständnisförderung durch [b]Orientierung an Grundvorstellungen[/b] sowie der [b]durchgängige Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen[/b], insbesondere GeoGebra. [/color] Weitere Informationen: https://mategnu.de Konkrete Leitfäden zu den Kernthemen aller Kurshalbjahre unterstützen die strukturierte Umsetzung der Fortbildungsinhalte im Unterricht. Dieser Leitfaden gehört zu [b]Modul 1[/b] und beinhaltet das Thema[b] Ableitung im 1. Halbjahr der MSS[/b]. Schlagworte: Ableitung, lokale Änderungsrate, Tangentensteigung, Gepard
Table of Contents
- Reihenübersicht
- M1 L Struktur und Inhalte
- M L GGB Einsatz von GeoGebra im Unterricht
- I. Numerischer Zugang
- M1.I.1 L Einstiegskontext Gepard
- M1.I.1 AB Einstiegsvideo Gepard
- M1.I.2 L Geschwindigkeit als Änderungsrate
- M1.I.2 AB Geschwindigkeit des Gepards
- M1.I.2 App Gepard
- M1.I.3 L Momentane Geschwindigkeit
- M1.I.3 AB Näherung der momentanen Geschwindigkeit
- M1.I.3 App Näherung Gepard
- M1.I.4 L Wissensspeicher Ableitung als lokale Änderungsrate
- * M1.I.5 L Weg(Zeit)-Funktion modellieren
- * M1.I.5 AB Funktion mit Punkten modellieren
- * M1.I.6 L Grenzwertbildung algebraisch
- II. Graphische Darstellung
- M1.II.1 L Von der Situation zum Graph
- M1.II.1 AB Gepard im Funktionsgraph
- M1.II.1 App Gepard Schritte Graph
- M1.II.2 L Steigung als momentane Änderungsrate
- M1.II.2 AB Steigung des Funktionsgraphs
- M1.II.2 App Steigung Funktionsgraph
- M1.II.3 AB Tangente an Graph
- M1.II.3 App Tangente
- M1.II.3 L Ableitung als Tangentensteigung
- M1.II.4 AB Momentane Geschwindigkeit
- M1.II.4 App Graph Tangente
- III. Ableitungsfunktion
- M1.III.1 L Zeitabhängige Geschwindigkeit
- M1.III.1 AB Geschwindigkeitsverlauf
- M1.III.2 L Ableitung mit Geradenstückchen
- M1.III.2 AB Ableitung mit Geradenstücken
- M1.III.2 App Ableitung Geradenstücke
- M1.III.3 L Graphisches Ableiten
- M1.III.3 AB Graph der Ableitung zeichnen
- M1.III.3 App Graph Ableitung Spur
- M1.III.4 AB Kontrolle Graph der Ableitung
- M1.III.4 App Graph Ableitungsfunktion
- M1.III.4 L Ableitungsfunktionen
- M1.III.5 AB Ableitungsregeln erkunden
- IV. Weiterer Unterricht
- M1.IV L Übersicht zu weiteren Unterrichtsmaterialien
- M.1.IV.0. WDH Gepard Situation zu Graph
- M1.IV.1 AB Lokale lineare Approximation
- M1.IV.2 App Parabel mit Tangente und Legende
- M1.IV.3 App Ableitung f(x) = x² inhaltlich
- M1.IV.4 AB Graphisches Ableiten Schritt für Schritt
- M1.IV.6 AB Lokale lineare Approximation (unstetig)
- M1.IV.7 AB Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und f'
- M1.IV.8 AB Zusammenhänge zwischen f, f' und f''
M1 L Struktur und Inhalte
[img]https://mategnu.de/bilder/banner/Handreichung_Lehrkraefte.png[/img]
[b][size=150][color=#ff7700]Struktur dieses Buchs[/color][/size][/b][br][br]Die folgende Reihenübersicht soll Ihnen einen [b]Einblick in die Materialien[/b] dieses GeoGebra-Buchs geben und Anhaltspunkte für die [b]Strukturierung Ihres Unterrichts[/b] mit diesen Materialien bieten.[br][br][url=https://mategnu.de/m/rp1.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_1/reihenuebersicht/m1rp1_300.jpg[/img][/url][br][size=85]Klicken Sie für das gesamte Dokument auf das Bild.[/size][br][br]Kern des MaTeGnu-Konzepts ist das Ausbilden von [b]Grundvorstellungen (GV)[/b]. [br][url=https://dms.nuw.rptu.de/mategnu/bilder/modul_1/folien/grundvorstellungen_ableitungsbegriff.jpg][img]https://dms.nuw.rptu.de/mategnu/bilder/modul_1/folien/grundvorstellungen_ableitungsbegriff_300.jpg[/img][/url][br][url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=fdbaaf54-d453-42a2-ba2a-b2e500edf24c][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img][/url][color=#FFA252][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_Kohorte_1_Modul_1_2025_Verstaendnisorientierung_in_der_Differentialrechnung.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img]Vortrag Modul 1: Verständnisorientierung in der Differentialrechnung[/url][/color][br][br]Fokus dieses Buchs sind die beiden GV [b]lokale Änderungsrate[/b] und [b]Tangentensteigung[/b]. [br][br][b][color=#ff7700]Nachteile eines graphischen Zugangs[/color][/b][br]Beim Einstieg in die Differentialrechnung wird häufig ein graphischer Zugang über die Tangente an einen Funktionsgraph genutzt. Dies hat zwei entscheidende Nachteile:[br][list][*](Um-)deutung des Begriffs [b]Tangente als lokale Berührende[/b] des Funktionsgraphen macht den Übergang von der Sekanten- zur Tangentensteigung wenig intuitiv[/*][*]zentrale Idee der Ableitung als Beschreibung des [b]Änderungsverhaltens[/b] wird nicht deutlich.[/*][/list]
[size=150][b][color=#ff7700]Vorgehen im Buch[/color][/b][/size][br][br][b][color=#ff7700]Kapitel I: Ableitung als lokale Änderungsrate[/color][/b][br]Dieses Buch führt im [i]Kontext des schnellsten Landtiers Gepard[/i] die [b]Ableitung als momentane Geschwindigkeit[/b] des Geparden ein, die über durchschnittliche Geschwindigkeiten angenähert wird (Grenzübergang vom Differenzen- zu Differentialquotient). Dieser [b]Verständnisanker Gepard[/b] fördert auch das Verständnis für die in der Intergalrechung zentralen Begriffe [b]Bestand und Änderung[/b].[br][br][b][color=#ff7700]Kapitel II: Ableitung graphisch deuten[/color][/b][br]Darauf aubauend werden die erarbeiteten Begriffe (Änderung/Bestand, absolute/relative Änderung, durchschnittliche/momentane Änderungsrate) und der Übergang Differenzen- zu Differentialquotient graphisch gedeutet mit der Ableitung als [b]Tangentensteigung[/b]. [br][br][b][color=#ff7700]Kapitel III: Ableitungsfunktion[/color][/b][br]Im Verständnisanker wird den SuS von Beginn an die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit deutlich (Unterschied durchschnittliche/momentane Geschwindigkeit). Die Untersuchung des funktionalen Zusammenhangs Zeit[math]\rightarrow[/math]Geschwindigkeit beim Gepard im dritten Kapitel ist deshalb leicht zu motivieren. Es führt von der Ableitung an einer Stelle hin zur [b]Ableitungsfunktion[/b]. Zunächst steht [b]graphisches Ableiten[/b] im Vordergrund, das zunehmend von Funktionsgleichungen begleitet wird und in den [b]elementaren Ableitungsregeln[/b] mündet.[br][br][b][color=#ff7700]Weiterer Unterricht[/color][/b][br]In diesem Kapitel werden einige Applets als [b]Anregungen [/b]für den weiteren Unterricht aufgeführt, darunter die Funktionenlupe (GV lokale lineare Approximation). [br]Durch den Einsatz von GeoGebra-MMS verschiebt sich im weiteren Unterricht der Schwerpunkt von umfassenden (oft schematischen) Kurvendiskussionen hin zu [b]Steckbriefaufgaben[/b].
M1.I.1 L Einstiegskontext Gepard
[img]https://mategnu.de/bilder/banner/Handreichung_Lehrkraefte.png[/img]
[url=https://mategnu.de/m/rp1.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_1/reihenuebersicht/m1ph1.png[/img][/url][br][br][size=150][color=#ff7700][b]Leitfrage zu Phase 1:[/b][/color][/size] [br][size=100]Wie schnell ist der Gepard? [/size][br][br][size=150][b][color=#ff7700]Kontext Gepard[/color][/b][/size][br]Als Kontext wird das schnellste Landtier, der Gepard, betrachtet, der eine momentane Spitzengeschwindigkeit von über [math]90\frac{km}{h}[/math] und Durchschnittsgeschwindigkeiten von [math]50\frac{km}{h}[/math]erreicht.[br]Gemessen werden diese Geschwindigkeiten u.a. mithilfe von Hochgeschwindigkeitskameras.[br][br][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_Kohorte_1_Modul_1_2025_Verstaendnisorientierung_in_der_Differentialrechnung.pdf#page=25][img]https://dms.nuw.rptu.de/mategnu/bilder/modul_1/folien/verstaendnisanker_gepard_300.jpg[/img][/url]
[size=150][b][color=#ff7700]Grundvorstellung zur Ableitung [/color][/b][/size][br]Der Kontext ermöglicht es, eine mit dem Alltag verbundene Vorstellung zur Ableitung ([b]Grundvorstellung[/b]) als lokale Änderungsrate zu entwickeln und ist auch tragfähig für den weiteren Unterricht. [br][br]Auch die für SuS schwierige Idee der höheren Ableitung lässt sich - später und für leistungsstärkere Lernende - gut anbinden (z.B. "Geparden beschleunigen auch besonders stark und können innerhalb eines einzigen Schrittes knapp [math]11\frac{km}{h}[/math] an Tempo hinzugewinnen").
[size=150][b][color=#ff7700]Diskussionspunkte zum Einstiegsvideo [/color][/b][/size][br]Ein Einstiegsvideo (Link s.u.) bietet eine Kurzinformation zum Gepard. Ausgehend davon soll diskutiert werden, was man für das [b]Experiment zur Bestimmung der Geschwindigkeit[/b] des Geparden benötigt. [br]Dabei können die Begriffe [b]Bestand [/b](Weg), [b]Änderung [/b](Geschwindigkeit), [b]mittlere/momentane Geschwindigkeit[/b] im Kontext von den SuS identifiziert und geklärt werden.[br][size=85]Optional kann diskutiert werden, warum sich das Video so nicht für die Geschwindigkeitsbestimmung eignet (Kameraperspektive, Maßstab für Wegmessung, Zeitmessung, Weg des Gepard nicht geradlinig, ...).[/size][br][b]Zentral [/b]ist das Herausarbeiten der Leitfrage: [b]Wie schnell ist der Gepard [/b](zu einem bestimmten Zeitpunkt)[b]?[/b] [br][color=#666666]Darauf kann man als Impuls mit folgender Frage hinleiten: Was könnte man mit Hilfe dieses Videos im Prinzip ermitteln?[/color]
[size=150][b][color=#ff7700]Zeitbedarf[/color][/b][/size][br]1h
[size=150][b][color=#ff7700]Unterrichtsmaterial [/color][/b][/size][br]Digitales Arbeitsblatt: [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img] [color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/ggrn5utf]M1.I.1 AB Einstiegsvideo Gepard[/url][/color] [br]oder Direktlink zum Video: [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img] [url=https://www.youtube.com/watch?v=ulZRm6x9xGw]YouTube[/url]
[i][u]Quellen:[/u] Externer Videolink auf YouTube [url=https://www.youtube.com/watch?v=ulZRm6x9xGw][br]https://www.youtube.com/watch?v=ulZRm6x9xGw[/url][/i]
M1.II.1 L Von der Situation zum Graph
[url=https://mategnu.de/m/rp1.pdf#page=2][img]https://mategnu.de/bilder/modul_1/reihenuebersicht/m1ph7.png[/img][/url][br][br][b][size=150][color=#ff7700]Leitfrage zu Phase 7[/color][/size][/b][br]Wo findet man absolute Änderung und mittlere Änderungsrate am Graph?
[b][size=150][color=#ff7700]Von lokaler Änderungsrate zur Tangentensteigung[/color][/size][/b][br]Nach Erarbeitung des Ableitungsbegriffs mithilfe der lokalen Änderungsrate sollte nun unbedingt die [b]Begriffsbildung [/b]an die[b] graphische Bedeutung der Ableitung[/b], die der Tangentensteigung, angebunden werden.
[size=150][b][color=#ff7700]Aspekte zur Tangentensteigung[/color][/b][/size][br]Für die darauf aufbauende Erarbeitung der Vorstellung der Tangentensteigung sind im Wesentlichen [color=#006B6B][b]drei Aspekte[/b][/color] wichtig, bei denen besondere [color=#042C58][b]Hürden[/b][/color] zu beachten sind.[br][br][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_Kohorte_1_Modul_1_2025_Verstaendnisorientierung_in_der_Differentialrechnung.pdf#page=38][img]https://dms.nuw.rptu.de/mategnu/bilder/modul_1/folien/aspekte_ableitung_als_tangentensteigung_300.jpg[/img][/url]
[size=150][b][color=#ff7700]1. Phase: Von der Situation zum Graph[/color][/b][/size][br]Die [b]Übertragung[/b] der Begriffe absolute Änderungen, mittlere/lokale Änderungsrate, bzw. Weg-/Zeitdifferenz und mittlere/momentane Geschwindigkeit im Kontext auf den Graph ist nicht einfach und sollte unbedingt explizit erarbeitet werden. Dabei sollen unbedingt die [b]Grundvorstellungen zu Funktionen[/b] [b]- Zuordnung, Änderungsverhalten [/b]und [b]Funktion als Ganzes[/b] wiederholt werden. [br]Diese Phase kann ähnlich wie beim numerischen Zugang je nach Grad der Offenheit und Problemorientierung im Unterricht entweder von den Lernenden eigenständig in Kleingruppen im GeoGebra-MMS oder vorstrukturiert durch ein Arbeitsblatt gestaltet werden.
[b][size=150][color=#ff7700]Wichtige Schritte der Phase[/color][/size][/b][br][list][*][b]Graph [/b]des Weg(Zeit)-Zusammenhangs im Zeitintervall [0;4] zeichnen (von Hand/GeoGebra-MMS)[br](Optional [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/wqjyfb8y]Phase 5: * M1.I.5 AB Funktion mit Punkten modellieren[/url] Weg(Zeit)-Funktion bestimmen)[/*][br][*]am Graph [b]Zuordnung [/b]einzeichnen: Zeitpunkt [math]x\mapsto f(x)[/math] zurückgelegter Weg[/*][br][*]Wegänderung bei Zeitänderung am Graph identifizieren: sowohl an den Achsen als auch verschoben an den Graph [math]\rightarrow[/math] [b]Steigungsdreieck[/b][/*][br][*][b]Änderungsverhalten [/b]beschreiben: mit zunehmender Zeit nimmt Wegänderung pro (gleichbleibender) Zeitänderung immer mehr zu[/*][br][*]Art des Zusammenhangs - [b]Funktion als Ganzes [/b]erfassen: nicht linear, möglicherweise quadratisch[/*][br][*]an Steigungsdreieck [b]mittlere Geschwindigkeit[/b] identifizieren und [b]Sekante[/b] benennen[/*][br][*][b]Unterschied [/b]zwischen Sekante und Graph klären: "Wie würde der Graph verlaufen, wenn der Gepard auf dem gesamten Zeitintervall mit der mittleren Geschwindigkeit laufen würde?"[/*][/list]
[size=150][b][color=#ff7700]Unterrichtsmaterial[/color][/b][/size][br]Digitales Arbeitsblatt: [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/qgzrcjej][color=#0000ff]M1.II.1 AB Gepard im Funktionsgraph[/color][/url][br]oder in GeoGebra-MMS z.B. ausgehend von Phase 5: [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/wqjyfb8y][color=#0000ff]* M1.I.5 AB Funktion mit Punkten modellieren[/color][/url]
[b][size=150][color=#ff7700]Zeitbedarf[/color][/size][/b][br]2h
[b][size=150][color=#ff7700]Übungen[/color][/size][/b][br][url=https://mategnu.de/m/1/ueb/calimero9]Calimero Schülerband 9[/url] 1.1 Nr. 5, 6; 1.2 Nr. 1[br]Wiederholungs-Arbeitsblatt: [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/vztjd2qn][color=#0000ff]0. WDH Gepard Situation zu Graph[/color][/url]
M1.III.1 L Zeitabhängige Geschwindigkeit
[url=https://mategnu.de/m/rp1.pdf#page=3][img]https://mategnu.de/bilder/modul_1/reihenuebersicht/m1ph10.png[/img][/url][br][br][b][size=150][color=#ff7700]Leitfrage zu Phase 10[/color][/size][/b][br]Wie hängt die Geschwindigkeit des Gepards von der Zeit ab?
[size=150][b][color=#ff7700]Geschwindigkeit des Gepard im zeitlichen Verlauf[/color][/b][/size][br]Nachdem in den ersten beiden Kapiteln die Ableitung an einer Stelle [math]x_0[/math] erarbeitet wurde, fehlt zum [b]Verständnis [/b]der Ableitung noch die Interpretation der [b]Ableitung als[/b] (eigenständige) [b]Funktion[/b]. [br]Dazu wird im Arbeitsblatt [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Hybrid_30.jpg[/img][i][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/bumgxutt]M1.III.1 AB Geschwindigkeitsverlauf[/url][/i] im [b]Kontext Gepard[/b] der [b]funktionale Zusammenhang der Geschwindigkeit abhängig von der Zeit[/b] untersucht.[br][br][b][color=#ff7700]1. Messpunkte bestimmen[/color][/b][br]Die SuS bestimmen mit den erarbeiten Vorgehen entweder a) numerisch oder b) graphisch die momentane Geschwindigkeit zu verschiedenen Zeitpunkten und halten diese in einer Tabelle fest.[br]Sie nutzen dazu im AB entweder [br]a) das [i]Applet Näherung Gepard[/i] aus [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][i][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/yfxh3pts]M1.I.3 AB Näherung der momentanen Geschwindigkeit[/url] [/i] oder[br]b) das [i]Applet Graph Tangente[/i] aus [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][i][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/hsv6pfkv]M1.II.4 AB Momentane Geschwindigkeit[/url][/i].[br][br][b][color=#ff7700]2. Zusammenhang modellieren[/color][/b][br]Die SuS zeichnen in GeoGebra-MMS die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte ein und modellieren eine Funktion durch diese Punkte wie in [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][i][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/wqjyfb8y]*M1.I.5 AB Funktion mit Punkten modellieren[/url] [/i]beschrieben [i](s. Phase 5 in Kapitel I)[/i].
[size=150][b][color=#ff7700]Wichtige Erkenntnisse dieser Phase[/color][/b][/size][br][list][*]Die [b]Geschwindigkeit [/b]des Gepards abhängig von der Zeit ist ebenfalls eine [b]Funktion[/b]:[br]Zuordnung Zeit[math]\mapsto[/math]Geschwindigkeit.[/*][*]Ordnet man der Zeit [math]x[/math] die [b]Ableitung einer Bestandsfunktion[/b] [math]f(x)[/math] an allen Stellen [math]x_0[/math] (in denen die Funktion differenzierbar ist) zu, erhält man die Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math].[/*][/list][br][size=150][b][color=#ff7700]Überleitende Frage[/color][/b][/size][br](Wie) kann man [b]aus [/b]der [b]Bestandsfunktion [/b](Graph oder Funktionsgleichung) [b]direkt [/b]die [b]Ableitungsfunktion [/b]bestimmen?
[size=150][b][color=#ff7700]Unterrichtsmaterial[/color][/b][/size][br]Digitales Arbeitsblatt [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Hybrid_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/bumgxutt]M1.III.1 AB Geschwindigkeitsverlauf[/url] [br]oder Applets a) [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img] [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/yfxh3pts]M1.I.3 App Näherung Graph[/url] bzw. b) [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img] [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/hsv6pfkv]M1.II.4 App Graph Tangente[/url]
[size=150][b][color=#ff7700]Zeitbedarf[/color][/b][/size][br]1h
[size=150][b][color=#ff7700]Übungen[/color][/b][/size] [br][url=https://mategnu.de/m/1/ueb/calimero9]Calimero Band 9[/url] Aufgaben in 1.1
M1.IV L Übersicht zu weiteren Unterrichtsmaterialien
[img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][size=150][b][color=#ff7700]M1.IV.0. WDH Gepard Situation zu Graph[/color][/b][/size][br]Mit diesem Wiederholungs-Arbeitsblatt kann die Anbindung der im numerischen Zugang erarbeiteten Begriffe zur Ableitung (Bestand/Änderung, absolute/relative Änderung, durchschnittliche/momentane Änderungsrate) gefestigt werden und die Grundvorstellungen zu Funktionen aus der Mittelstufe (Zuordnung, Änderungsverhalten und Funktion als Ganzes) wiederholt werden.
[url=https://mategnu.de/m/rp1.pdf#page=3][img]https://mategnu.de/bilder/modul_1/reihenuebersicht/m1weitU.png[/img][/url][br][br][b][size=150][color=#ff7700]Leitfrage zur optionalen Phase[/color][/size][/b][br]Was hat die Ableitung mit der Näherung der Funktion an einer Stelle zu tun?[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][size=150][b][color=#ff7700]M1.IV.1 AB Lokale lineare Approximation[/color][/b][/size][br]Diese Aktivität fördert die Grundvorstellung lokale lineare Approximation (s. Abschnitt [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/mxxhepef]Didaktische Hinweise[/url]), die die folgenden beiden zentralen Aspekte beinhaltet:[br][list][*]Bei starker Vergrößerung der Umgebung eines Punktes des Funktionsgraphen, sieht man ein geradliniges Kurvenstück.[/*][*]Für kleine Änderungen der [math]x[/math]-Werte ist die Funktion so gut wie linear, kann also näherungsweise durch einen linearen Zusammenhang ersetzt werden.[br][/*][/list]
[img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][size=150][b][color=#ff7700]M1.IV.2 App Parabel mit Tangente und Legende[/color][/b][/size][br]Auch dieses GeoGebra-Applet fördert die Grundvorstellung lokale lineare Approximation.[br]Damit kann die "Güte" der Näherung durch die Tangente diskutiert werden (eher im Plenum).[br][b]Erkenntnis:[/b][br]Der Graph von [math]f[/math] lässt sich in der Nähe von [math]x_0[/math] durch die Tangente in [math]x_0[/math] besonders gut annähern, denn der Fehler [math]r(h)[/math] der Approximation geht schneller gegen Null als [math]h[/math].
[size=150][b][color=#ff7700][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img]M1.IV.3 App Ableitung f(x) = x² inhaltlich[/color][/b][/size][br]Dieses GeoGebra-Applet dient zur Veranschaulichung der Grundvorstellung Ableitung als Verstärkungsfaktor: [br][list][*]Die Ableitung gibt an, wie stark sich kleine Änderungen der unabhängigen Größe auf die abhängige Größe auswirken.[/*][*]Hohe Werte der Ableitung bedeuten schnelle bzw. starke Änderung der Funktionswerte.[/*][*]Für kleine Änderungen Δx ist der Zusammenhang von Δx und Δy multiplikativ:[br] Δy≈f′(x)⋅Δx (f'(x) ist also der Verstärkungsfaktor).[/*][/list][br]Das Applet nutzt eine geometrische Deutung dieser GV und liefert einen inhaltlichen Zugang zur Ableitungsregel [math]\left(x^2\right)'=2x[/math] (und analog für [math]\left(x^3\right)'=3x^2[/math]). Nachfolgende Abbildung skizziert diese Idee.
[size=150][b][color=#ff7700][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Hybrid_30.jpg[/img]M1.IV.4 AB Graphisches Ableiten Schritt für Schritt[/color][/b][/size][br]Aktivität mit Förderung der Werkzeugkompetenz: In dieser Aktivität erlernen die SuS Schritt für Schritt die Vorgehensweise beim graphischen Ableiten. Jeder Schritt wird in einem GeoGebra-Applet visualisiert und durch Verständnisfragen unterstützt. Im letzten Schritt zeichnen die SuS selbst in das Applet den Graph der Ableitungsfunktion und überprüfen ihre Lösung.
[size=150][b][color=#ff7700][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img]M1.IV.5 AB Graphisches Ableiten im MMS[/color][/b][/size][br]zur Förderung der Werkzeugkompetenz: [br]Diese Aktivität stellt eine Schritt-für-Schritt Anleitung zum graphischen Ableiten in GeoGebra-MMS dar.[br]Sie knüpft an die Aktivität "Graphisch Ableiten Schritt für Schritt" an und ermöglicht es den SuS eigenständig die Objekte, die im Applet dieser Aktivität gezeigt wurden, nachzubauen und so für andere Funktionen analog graphisch abzuleiten.[br]Sie kann in Kombination mit der Aufgabe zum graphischen Ableiten als Unterstützung für die SuS genutzt werden.[br][br][b]Mögliche Aufgabenstellung:[/b][br]Leiten Sie graphisch mithilfe von GeoGebra-MMS die folgende Bestandsfunktion im Intervall [-2; 12] ab:[br][math]f\left(x\right)=\binom{24x^4+34x^2}{e^{x+4}}-2[/math][br]Für die Durchführung der Schritte kann es hilfreich sein, einen Punkt auf dem Graph der Bestandsfunktion zu erzeugen [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pointonobject.png[/icon], in diesem Punkt eine Tangente an den Graph [icon]/images/ggb/toolbar/mode_tangent.png[/icon]zu zeichnen und mit dem Befehl [code]Steigung() [/code]sich die Steigung der Tangente anzeigen zu lassen. Der Punkt kann entlang des Graphs bewegt werden. Die benötigten Punkte und Linien können Sie mit [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] einzeichnen.
[size=150][b][color=#ff7700][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img]M1.IV.6 AB Lokale lineare Approximation (unstetig)[/color][/b][/size][br]Diese Aktivität fördert ebenfalls die Grundvorstellung lokale lineare Approximation (s. 1.), bietet aber eine Unstetigkeitsstelle zur Untersuchung der Differenzierbarkeit.
[size=150][b][color=#ff7700][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img]M1.IV.7 AB Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und f'[/color][/b][/size][br]Dieses Arbeitsblatt schließt an das graphische Ableiten aus Kapitel III und fokussiert dabei den Vergleich der Eigenschaften vom Graph der Bestandsfunktion und dem der Ableitungsfunktion (charakteristische Punkte, Monotonie, ...).
[size=150][b][color=#ff7700][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img]M1.IV.8 AB Zusammenhänge zwischen f, f' und f''[/color][/b][/size][br]Dieses Arbeitsblatt schließt an das vorherige Arbeitsblatt an und fokussiert ebenfalls den Vergleich der Eigenschaften vom Graph der Bestandsfunktion und dem der ersten und zweiten Ableitungsfunktion (charakteristische Punkte, Monotonie, ...).