Si f es una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b).[br][br][center]Sí f(a) = f(b), entonces [b]f’(c) = 0[/b] para al menos un [b]c[/b] entre (a,b)[/center]

Comprobar el [b]Teorema de Rolle[/b] para las siguientes funciones, en los intervalos dados:[br][br][list][*]f(x) = x[sup]2[/sup] - 4x + 5 en [ 1, 3][/*][*]f(x) = x[sup]2 [/sup]- 3x + 2 en [ 1, 2][/*][*]f(x) = x[sup]4 [/sup]- 2x[sup]2[/sup] en [-2, 2][/*][/list]

Si f es una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b).[br][br]Sí f(a) [math]\ne[/math] f(b). Entonces, existe un número [b]c[/b] en (a,b) tal que:[br][center][math]f'\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math][/center]

Comprobar el[b] Teorema de Lagrange o del valor medio[/b] para las siguientes funciones, en los intervalos dados:[br][br][list][*]f(x) = 5 - (4 / x) en [ 1, 4][/*][*]f(x) = (x + 1) / x en [ -1, 2][/*][*]f(x) = (2- x)[sup](1/2)[/sup] en [ -7 , 2][/*][/list]

Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a,b] y son derivables en el intervalo abierto (a,b).[br][br][left]Y, sí: [br][b]g(a) [/b][math]\ne[/math][b] g(b)[/b] y [br][b]g'(x) [/b][math]\ne[/math][b] 0 [/b]para [math]x\in\left(a,b\right)[/math], [br][br]Entonces, existe un [math]c\in\left(a,b\right)[/math] tal que:[/left][br][center][math]\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}=\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}[/math][/center]

Comprobar el [b]Teorema de Cauchy [/b]para las funciones dadas, en los intervalos dados:[br][br][list][*]f(x) = x[sup]2[/sup] − 2x + 3 y g(x) = x[sup]3[/sup] − 7x[sup]2[/sup] + 20x − 5 en [1, 4][br][/*][*]f(x) = sen x y g(x) = cos x en [0, π/2][/*][*]f(x) = 3x[sup]4[/sup] − 2x[sup]3[/sup] − x[sup]2[/sup] + 1 y g(x)=4x[sup]3[/sup] − 3x[sup]2[/sup] − 2x en [0, 1][/*][*]f(x) = x[sup]3[/sup] + 1 y g(x) = x[sup]2[/sup] + 3 en [0, 2][br][br][/*][/list]