Das Applet zeigt den Graph einer Exponentialfunktion [math]x\mapsto a^x[/math], einen Punkt P auf dem Graph und die Tangente an den Graph im Punkt P.[br][list=1][*]Mit dem dem Schieberegler können Sie einen Wert für die Basis a einstellen. Beschreiben Sie ohne sich das Steigungsdreieck anzeigen zu lassen, qualitativ die Steigung der Tangente für einen festen Wert von a (Fallunterscheidung). [/*][*]Überprüfen Sie Ihre qualitative Beschreibung, indem sich das Steigungsdreieck und den Wert der Steigung anzeigen lassen.[/*][*]Die Steigung der Tangente an der Stelle x ist der Wert der Ableitung an der Stelle[br]x. Wird dieser Wert in Abhängigkeit von x angegeben, so erhält man die[br]Ableitungsfunktion. Sie können sich zunächst für jeden Punkt P die Steigung als y-Wert antragen lassen (Punkt P').[/*][*]Die Spur von P' liefert Punkte auf dem Graph der Ableitungsfunktion. [/*][*]Untersuchen Sie die Eigenschaften der Ableitungsfunktion. [/*][/list]
Begründen Sie anschaulich, dass jede Exponentialfunktion differenzierbar ist.
z. B. Die Exponentialfunktion ist stetig und ihr Graph weist keinen Knick auf.
Die Ableitungsfunktion einer Exponentialfunktion ...
Begründen Sie, dass die Ableitung der Funktion [math]x\mapsto a^x[/math] keinesfalls den Term [math]x\cdot a^{x-1}[/math] besitzt.
z. B. Der Term [math]x\cdot a^{x-1}[/math] besitzt für [math]x=0[/math] den Wert 0. Die Exponentialfunktionen haben aber keine Stellen mit waagrechter Tangente.
Es gibt einen Wert von a für den der Graph der Ableitungsfunktion mit dem Graph der Funktion übereinstimmt.