Las lunas de Hipócrates
Usa el siguiente tablero para realizar lo siguiente:
[br]
1. Instala una cerca de cartón alrededor de los tres semicírculos.[br]2. Instala una cerca triangular alrededor del triángulo central.[br]3. Vacía frijoles de goma o de chocolate en los semicírculos. Asegúrate que los frijoles llenen completamente los semicírculos sin que se encimen y que tampoco queden huecos grandes.[br]4. Retira la cerca del triángulo central.[br]5. Inclina el tablero para que los frijoles se deslicen hacia el semicírculo construido sobre la hipotenusa.[br]6. Coloca la cerca triangular en su lugar.[br]7. Comprueba que los frijoles llenen completamente el semicírculo más grande.[br]
[color=#0000ff]1. ¿Qué puedes decir acerca de la suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos del triángulo rectángulo comparada con el área del semicírculo construido sobre la hipotenusa? [br]Expresa tu hallazgo con palabras.[/color]
Ahora, vas a escribir expresiones algebraicas para las áreas de los semicírculos y sus relaciones.
El diámetro de cada semicírculo es congruente con el lado correspondiente del triángulo. ¿Cuál es el radio de cada uno de los semicírculos sobre los lados del triángulo rectángulo? [color=#0000ff][br]1. Escribe el radio del semicírculo sobre el lado [i]a[/i][/color]
[color=#0000ff]2. Radio del semicírculo sobre el lado [i]b[/i][/color]
[color=#0000ff]3. Radio del semicírculo sobre el lado [i]c[/i][/color]
[color=#0000ff]4. ¿Cuál es el área del círculo de radio [img]http://www.scielo.org.mx/img/revistas/ed/v20n1/a6e1.jpg[/img]?[/color]
[color=#0000ff]5. ¿Cuál es el área de un semicírculo de radio [img]http://www.scielo.org.mx/img/revistas/ed/v20n1/a6e1.jpg[/img]?[/color]
[color=#0000ff]6.[/color] [color=#0000ff]Escribe una expresión algebraica para cada una de las áreas de los semicírculos. Área del semicírculo sobre el lado [i]a[/i][/color]
[color=#0000ff]7.[/color] [color=#0000ff]Escribe una expresión algebraica para cada una de las áreas de los semicírculos. Área del semicírculo sobre el lado [i]a[/i][/color]
[color=#0000ff]8. Escribe el área del semicírculo sobre el lado [i]b[/i][/color]
[color=#0000ff]9. Escribe el área del semicírculo sobre el lado [i]c[/i][/color]
[color=#0000ff]10. Usa notación algebraica para expresar la suma de las áreas de los dos semicírculos de radios [img]http://www.scielo.org.mx/img/revistas/ed/v20n1/a6e2.jpg[/img][/color]
[color=#0000ff]11. Utiliza notación algebraica para expresar que la suma de las áreas de los semicírculos sobre los catetos [i]a[/i] y [i]b[/i] del triángulo rectángulo es igual al área del semicírculo sobre la hipotenusa [i]c[/i][/color]
[color=#0000ff]12. Factoriza y simplifica ambos lados de la ecuación [img]http://www.scielo.org.mx/img/revistas/ed/v20n1/a6e3.jpg[/img] para mostrar que es equivalente a la ecuación [i]a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup] = c[sup]2[/sup].[/i][/color]
[color=#0000ff]13. Puedes hacer esto en varios pasos. Puedes, por ejemplo, multiplicar ambos lados por 2 y dividir ambos lados entre [b]π[/b]. Escribe la ecuación simplificada:[/color]
[color=#0000ff]14. Ahora puedes expandir los términos cuadrados. Escribe la ecuación correspondiente:[/color]
[color=#0000ff]15. Finalmente puedes multiplicar ambos lados por 4[/color]
[color=#0000ff]16. Verifica que puedes invertir todos los pasos. Esto es, empieza con la ecuación [i]a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup] = c[sup]2[/sup] y[/i] muestra paso a paso que, a partir de esta relación, puedes obtener la relación entre los semicírculos.[br][img]http://www.scielo.org.mx/img/revistas/ed/v20n1/a6e4.jpg[/img][/color][br]
Observa la siguiente animación:
Mueve los puntos. Cambia de tamaño el triángulo rectángulo, mueve los puntos, forma polígonos distintos, cóncavos y convexos, y contesta:[br][color=#0000ff]1.¿Qué sucede con las áreas de los polígonos?[br][/color][br]
[color=#0000ff]2.¿Se cumple el teorema de Pitágoras? Demuestrálo.[/color]
[color=#0000ff]3. Escribe una regla general para el teorema de Pitágoras.[/color]