M - Trojúhelníky

Martin Vinkler, Mar 14, 2015

Table of Contents

  1. Vlastnosti
    1. Věta o střední příčce
    2. Věta o těžnicích
    3. Věta o ose vnitřního úhlu v trojúhelníku
    4. Důkaz vlastností těžnic a těžiště v trojúhelníku pomocí stejnolehlosti
    5. Eulerova přímka
    6. těžiště
    7. Kružnice vepsaná a kružnice připsané
  2. Podobnost trojúhelníků
    1. Definice podobnosti dvou rovinných útvarů
    2. Eukleidés VI. def. 1 (Definice podobnosti dvou mnohoúhelníků)
    3. Definice podobnosti dvou trojúhelníků
    4. Eukleidés VI.2 (Thalétův teorém a věta k němu obrácená)
    5. Eukleidés VI.4 (Věta uu o podobnosti trojúhelníků)
    6. Eukleidés VI.5 (Věta obrácená k uu)
    7. Eukleidés VI.6 (Věta sus o podobnosti trojúhelníků)
    8. Eukleidés VI.7 (Věta ssu versus Ssu - stř. školy v našem mocnářství - o podobnosti trojúhelníků)
    9. Trojúhelník -- 2 strany a úhel proti jedné z nich
  3. Příklady
    1. Příklad z Petačky

1.

Vlastnosti

  • 1. Věta o střední příčce
  • 2. Věta o těžnicích
  • 3. Věta o ose vnitřního úhlu v trojúhelníku
  • 4. Důkaz vlastností těžnic a těžiště v trojúhelníku pomocí stejnolehlosti
  • 5. Eulerova přímka
  • 6. těžiště
  • 7. Kružnice vepsaná a kružnice připsané

1.1.

Věta o střední příčce

Definice střední příčky:
Věta o střední příčce:
Důkaz 1: Učebnice: Macháček, Kraemer, Pírek - Geometrie pro 8. ročník (1980)
Důkaz 2: Přes shodnost trojúhelníků dle věty SUS
Důkaz 3: Přes shodnost trojúhelníků dle věty USU
Důkaz 3: Přes shodnost trojúhelníků dle věty USU
Důkaz 4: Přes podobné trojúhelníky dle věty SUS
Důkaz 5: Ala Kiselev tvrzení 94 (Věta o dělení úsečky na několik stejných dílů)
Viz: Kiselev's Geometry: Book I. Planimetry
https://www.cut-the-knot.org/books/Reviews/KiselevsGeometry.shtml
– Martin Vinkler

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

2.

Podobnost trojúhelníků

  • 1. Definice podobnosti dvou rovinných útvarů
  • 2. Eukleidés VI. def. 1 (Definice podobnosti dvou mnohoúhelníků)
  • 3. Definice podobnosti dvou trojúhelníků
  • 4. Eukleidés VI.2 (Thalétův teorém a věta k němu obrácená)
  • 5. Eukleidés VI.4 (Věta uu o podobnosti trojúhelníků)
  • 6. Eukleidés VI.5 (Věta obrácená k uu)
  • 7. Eukleidés VI.6 (Věta sus o podobnosti trojúhelníků)
  • 8. Eukleidés VI.7 (Věta ssu versus Ssu - stř. školy v našem mocnářství - o podobnosti trojúhelníků)
  • 9. Trojúhelník -- 2 strany a úhel proti jedné z nich

2.1.

Definice podobnosti dvou rovinných útvarů

Definice:
Podobné útvary jsou takové útvary, pro které existuje čı́slo [math]k>0[/math] takové, že pro dvojici libovolných bodů [math]A,B[/math] jednoho útvaru a odpovı́dajı́cı́ dvojici bodů [math]A'B'[/math] druhého útvaru platı́ [math]|A'B'|=k·|AB|[/math].[br]Čı́slo [math]k[/math] se nazývá koeficient podobnosti útvarů.
Zvětšováni Mony -- která zvětšenina je podobná originálu?
– Martin Vinkler

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

3.

Příklady

  • 1. Příklad z Petačky

3.1.

Příklad z Petačky

Je dán čtverec [math]ABCD[/math]. Střed strany [math]AB[/math] budiž [math]S[/math]. Na úhlopříčce [math]DB[/math] vyznač bod [math]L[/math] tak, že [math]DL:BL=1:3[/math]. Dokaž, že [math]\angle SLC[/math] je pravý.
Důkaz pomocí shodnosti trojúhelníků - verze 1
Důkaz pomocí shodnosti trojúhelníků - verze 2
Důkaz pomocí PV
– Martin Vinkler

Information