islamitische geometrische patronen
Lange tijd stonden voor velen islamitische decoratieve patronen synoniem voor passer-en-liniaalconstructies en het Alhambra in Granada. Een ophefmakend artikel uit 2007 in Science kreeg veel media aandacht en opende de ogen van de wereld voor patronen uit o.a. Iran met heel andere aanpak, die tot dan toe slechts door specialisten gekend was. Plots had iedereen de mond vol van girih tegels, quasi-kristallijne structuren en Penrose betegelingen. Het artikel wekte grote belangstelling, zowel bij leken als bij specialisten. Kenners reageerden, gaven hun eigen kijk op het verhaal. De laatste jaren verschenen dan ook zeer interessante artikels en heel mooie boeken. Dit GeoGebraboek leidt je doorheen een fascinerende wereld van motieven, (on)mogelijke symmetrieën en het werk van een aantal specialisten. Wil je ook meer te weten komen over muqarnas, ga dan naar mijn GeoGebraboek op [url]https://www.geogebra.org/m/rxrzrht3[/url]. In 2022 bezocht ik Oezbekistan en zijn vele historische monumenten in de steden Khiva, Buchara en Samarkand. Het is meer dan aan te bevelen om je niet aan je computer blind te staren op constructies maar om langs en door gebouwen te wandelen, je te laten imponeren door wereldpatrimonium en achteraf te beginnen puzzelen. Foto's met analyses van geometrische patronen, muqarnas en Koefisch kalligrafisch schrift vind je op [url=https://www.geogebra.org/m/u3d8sx2h]Historische architectuur in Oezbekistan[/url]
Table of Contents
- Alhambra
- het Alhambra
- Penrose - kristallen - Islamitische tegels
- verboden symmetrie in kristallen
- decoratieve patronen
- Maragha - Iran
- patroon en tegels
- girih tegels
- girih patroon reconstrueren (1)
- girih patroon reconstrueren (2)
- Topkapi rol
- puzzelen met girih tegels
- girih tegels en Penrose
- opdeling
- Penrose groot en klein
- twee lezingen van Peter Lu
- Wat voorafging - E.H. Hanking
- E.H. Hanking
- Geometric Patterns
- achthoeken
- tienhoeken en vijfhoeken
- andere tegels
- Peter Cromwell
- van cirkels naar veelhoeken
- (10/3) en (10/4) veelhoeken
- patroon met (10/3) veelhoeken
- patroon met (10/4) veelhoeken
- (10/3) en (10/4) patroon vergeleken
- andere tegels
- achthoeken - scherp
- achthoeken - mediaan
- achthoeken - stomp
- andere mogelijkheden
- Hankin
- vrijdagmoskee in Isfahan
- globaal bekeken
- hoeken van de tegels
- hoek met tegelzijden
- lijnenpatroon op een tegel
- decoratief patroon
- eenheidstegel
- lijnverbreding tot duaal patroon
- Verbrede lijnen
- duaal patroon
- sterren met bloemmotieven
- duaal patroon met vijfvoudig symmetrie
- Opvulling van een vierkant
- virtuose kalligrafie
- opdeling onderzocht
- combineren van sterren
- cirkels en stralenbundels
- Eenheidstegel
- 12- en 9-puntige sterren
- niet-systematische patronen
- 10- en 11-puntige sterren
- 13- en 11-puntige sterren
- koepels
- twaalfvlak als vertrekpunt
- alternatieven
- koepel in sectoren
- sterren en kromming
- Mahan
- Yazd
- Saveh
- Carol Bier
- Carol Bier
- een alternatieve benadering
- Gonbad-e Sork
- Kharraqan 1
- Kharraqan 2
- Nakhchyvan
- commentaar en argumenten
- girih tegels
- Gunbad-e Kabud
- aperiodische motieven
- tympaan Darb-i Imam (1)
- tympaan Darb-i Imam (2)
- abstracte concepten en praktijk
- opdeling uitgewerkt
- Topkapi rol
- Eric Broug
- 5-voudig systeem
- Jay Bonner
- extraatje
- links
het Alhambra
symmetriegroepen
Marcus du Sautoy noemt het Alhambra 'het paleis van de symmetrie' en vertelt hoe hij met zijn zoon door het Moorse paleis in Granada trekt met het lijstje van mogelijke symmetriegroepen in de hand.[br]De decorateurs van het 14e eeuwse paleis kenden het theoretische kader van 17 mogelijke behangpapiergroepen niet, maar wisten ze wel allemaal toe te passen. Kamer na kamer, muurplint na muurplint verbazen ze telkens opnieuw met weer een lichte verandering die weer een nieuw symmetriepatroon vormt.
herhaalde eenheidstegel
De Islamitische decorateurs wisten met welke regelmatige vormen je vlakvullende patronen kon genereren en gebruikten afwisselend vierkanten, ruiten, parallellogrammen, driehoeken, zeshoeken. Ze creëerden hun wandvullende patronen door een ontwerp op een eenheidstegel te verschuiven, te spiegelen of te roteren.[br][br]
GeoGebraboeken
Een studie van symmetriepatronen en de constructie van de motieven in het Alhambra vind je in volgende GeoGebraboeken:[br]- [url=https://ggbm.at/cwdEuhUw]symmetrie in het Alhambra[/url][br]- [url=https://ggbm.at/VN5CGgXQ]behangpapiergroepen[/url][br]- [url=https://ggbm.at/acq9cpp3]Alhambra met passer, lineaal en GeoGebra[/url][br]- [url=https://ggbm.at/M4BJvN9m]Escher en het Alhambra[/url]
andere ontwerppraktijken
In het begin van de 20e eeuw ontdekte westerse onderzoekers dat er naast het gebruik van één vaste eenheidstegel nog andere ontwerppraktijken bestonden in de Islamitische decoratiekunst en in 2007 verbaasde een artikel in Science de brede wiskundewereld met een verhaal over zogenaamde girih tegels. In volgende hoofdstukken volgen we dit boeiende verhaal.
verboden symmetrie in kristallen
Iedereen weet dat het onmogelijk is om met regelmatige vijf- of tienhoeken een regelmatig kristalpatroon op te bouwen en regelmatige patronen zijn nu een maal de regel. Maar een patroon met 10-voudige symmetrie was nu net precies wat Dan Shechtman op 8 april 1982 door zijn microscoop zag toen hij een snel afgekoelde legering van aluminium en mangaan bekeek.
Toen hij bleef bij wat hij zag, verloor hij zijn job. Hij bleef echter aandringen en kreeg uiteindelijk zijn bevindingen gepubliceerd. De nieuwe ordening noemde men ‘quasikristallen’.[br]En Dan Shechtman… die kreeg in 2011 de Nobelprijs voor scheikunde.
model van een quasikristal
Quasikristallen werden een hype en in vele laboratoria werden honderden nieuwe quasikristallen samengesteld. In 2009 werd eindelijk ook in de natuur het eerste quasikristal teruggevonden in een rivier in Rusland, waarschijnlijk afkomstig van een meteoriet. [br]De opbouw van een materiaal bepaalt mee de eigenschappen van het materiaal. Het bestuderen van de eigenschappen van een nieuwe soort materialen leidde daarom ook al tot nieuwe toepassingen. Omdat ze niet-periodisch zijn, zijn het ook slechte geleiders voor warmte en elektriciteit. Dat maakt ze dan weer heel geschikt als isolatoren.[br]De niet-regelmatige vlakvullingen op basis van vijfvoudige symmetrie die Roger Penrose creëerde leken enkel leuk wiskundig speelgoed, tot men ze dus ook in de kristallografie terugvond. In volgende afbeelding van een zilver-aluminium quasikristal merk je duidelijk de gelijkenis met de niet-regelmatige Penrose betegelingen.
links
[url=https://www.tijdschriftkarakter.be/verboden-symmetrie-in-kristallen]https://www.tijdschriftkarakter.be/verboden-symmetrie-in-kristallen[/url][br][url=https://scheikundejongens.nl/2011/10/nobelprijs-van-de-scheikunde-naar-quasi-kristallen]https://scheikundejongens.nl/2011/10/nobelprijs-van-de-scheikunde-naar-quasi-kristallen[/url][br][url=https://www.scientias.nl/vreemd-quasikristal-komt-uit-de-ruimte]https://www.scientias.nl/vreemd-quasikristal-komt-uit-de-ruimte[/url][br][url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Quasikristal]https://nl.wikipedia.org/wiki/Quasikristal[/url][br][br][br]
E.H. Hanking
Ernest Hanbury Hanking (1865 - 1939) was een Brits bioloog die werkzaam was in het toenmalige koloniale Brits-Indische rijk. Naast het bestuderen van ziektes als malaria en cholera was hij ook geïnteresseerd in de Islamitische decoratieve patronen op de monumenten die de Mogolkeizers bouwden van de 15 tot de 18e eeuw.
Taj Mahal
De Taj Mahal, het grafmonument dat keizer Sjah Jehan tussen 1632 en 1648 liet bouwen voor zijn overleden vrouw is niet alleen het bekendste van deze mogolmonumenten, maar een van de bekendste gebouwen in de wereld tout court.[br]De decoratie van de Taj Mahal bestaat uit bloemmotieven in halfedelstenen, ingelegd in wit marmer en het is niet dit type decoratie dat Hanking uitermate interesseert.
Fatehpur Sikri
Wat Hanking als wetenschapper vooral boeide, waren de geometrische patronen die hij o.a. aantrof in Fatehpur Sikri, de stad die keize Akbar liet bouwen als ceremoniële stad. Ze fungeerde als hoofdstad van het Mogolrijk van 1571 tot 1585, waarna ze om ongekende redenen werd opgeheven.
van cirkels naar veelhoeken
In zijn artikel [url=http://www.fisme.science.uu.nl/nwd/nwd2009/handouts/tom/Islamic%205%20fold.pdf]The Search of Quasi-Periodicity on 5-Fold Islamic Ornament[/url] uit 2009 beschrijft Peter R. Cromwell o.a. de overgang van een ruitvormig lijnenpatroon met rakende cirkels naar de 'Polygons in Contact' (PIC) van Hankin.[br]Vele vroege Islamitische patronen hebben een vierkant of driehoekig rooster, waarmee 6-, 8- of 12-hoekige sterpatronen gecreëerd worden. Cromwell illustreert hoe je met een ruitvormig patroon met hoeken van 72° en 108° ook tienhoekige sterren kunt creëren.
[list][*]Teken in het ruitvormig raster rakende cirkels met middelpunten op de roosterpunten van het raster.[/*][*]Teken in een cirkel een tienvoudige ster waarvan de hoekpunten samenvallen met de raakpunten van de cirkels. Sommige punten van de ster raken geen andere cirkel en eindigen in de lege ruimte tussen twee cirkels.[/*][*]Teken binnen de cirkels regelmatige tienhoeken waarvan de zijden loodrecht staan op de hoekpunten van de ster. [/*][*]Vervang nu de cirkels door de rakende tienhoeken en laat het ruitvormig rooster weg.[/*][*]Reproduceer het sterpatroon over alle cirkels. Tussen de tienhoeken ontstaan strikvormige veelhoeken.[/*][*]Trek nu de lijnen die de sterpunten vormen door tot in de strikken tot ze elkaar snijden.[br]In de strikken worden vliegers gevormd die congruent zijn met die in de ster.[/*][*]Laat tenslotte het rooster van tienhoeken en strikken los.[/*][/list]De overgang van cirkels naar veelhoeken lijkt volgens Cromwell minimaal, maar is het allerminst, omdat ze veralgemeningen toelaat en veel minder beperkingen oplegt aan de ontwerpers. Wanneer deze de mogelijkheid krijgen om vrij veelhoeken te schikken en patronen te genereren vanuit doorlopende lijnen die elkaar kruisen in het midden van de zijden van de veelhoeken, kunnen nog meer stervormen gecreëerd worden en zelf meerdere stervormen in eenzelfde decoratie. Wat van belang is, is de hoek die de lijnen maken met de zijden van de veelhoeken.
achthoeken - scherp
Een heel klassiek patroon kan je vormen door regelmatige 8-hoeken te combineren met vierkanten. Door middens van de zijden van de 8-hoeken te verbinden door lijnstukken, kan je een stermotief creëren. Door de keuze te wijzigen welke middens je verbindt, ontstaan verschillende types. Auteurs ontwikkelden een notatiesysteem voor dergelijke keuzes. In onderstaande applet toont zgn. 8/3 sterren. Hierbij begin je vanuit het midden van een zijde te tellen en verbindt je dit midden met de derde zijde die je tegenkomt. Je kunt de constructie ook beoordelen vanuit de hoek die de lijnen maken met de zijden van de veelhoeken. In dit geval spreken we van het scherpe systeem. De twee lijnen vanuit de middens van de zijden vormen een onderlinge hoek van 45°. Bij het mediaan systeem vormen ze een hoek van 90°, bij het stompe systeem een hoek van 135°
Verbrede lijnen
In volgend applet zie je een betegeling met viervoudige symmetrie, opgebouwd uit drie basisvormen: een regelmatige achthoek, een vierpuntige ster en een achthoekige strik. Achthoek en strik worden ingevuld door bloemmotieven, terwijl de omlijning verbreed wordt en ingevuld door een geometrisch motief.
cirkels en stralenbundels
opbouw vanuit stralen
De girih techniek die vertrekt met vaste sets van veelhoeken per groep van rotatiesymmetrie creëert sterren met een vast aantal punten. Naast dit systeem werd nog een tweede systeem ontwikkeld. [br]Binnen cirkels werden bundels van stralen geconstrueerd. Snijpunten van deze stralen bepaalden lijnstukken en vormden veelhoeken. Hierbij ontstond de mogelijkheid om sterren met een verschillend aantal hoekpunten te combineren binnen een patroon. [br]In het artikel [url=https://www.nexusjournal.com/volume-18/volume-18-number-1-2016.html]Girih for Domes: Analysis of Three Iranian Domes[/url] beschrijven de auteurs Mohammad Hossein Kasraei, Yahya Nourian en Mohamadjavad Mahdavinejad dit systeem als de straalsgewijze girih benadering of [b][i]Dast-Gardan girih[/i][/b].
In bovenstaand voorbeeld zie je in enkele stappen hoe het systeem opgebouwd wordt.[br][list][*]Binnen een eenheidscel tekent men op elk hoekpunt concentrische cirkels.[/*][*]Deze cirkels worden onderverdeeld in congruente sectoren.[/*][*]Diagonalen van de eenheidscel bepalen de middelpunten van bijkomende cirkels [b][i](stap A)[/i][/b].[/*][*]Door snijpunten van stralen en cirkels met elkaar te verbinden ontstaat een lijnpatroon [b][i](stap B)[/i][/b].[/*][*]Dit patroon wordt gespiegeld volgens de symmetrieassen van de eenheidstegel [b][i](stap C)[/i][/b].[/*][/list]Het resultaat [b][i](stap D)[/i][/b] is een geometrisch patroon met zowel 12-puntige als 9-puntige sterren.
Een mooi voorbeeld van het gebruik van deze techniek vind je in een tekening door Aslam Qureshi.[br]De constructie vertrekt vanuit kwartcirkels in twee overstaande hoeken van een rechthoek en kleinere, rakende cirkels. Stralenbundels en snijpunten vormen verder de basis voor een constructie van een evenwichtig patroon met zevenpuntige sterren.
twaalfvlak als vertrekpunt
In een vlak kan je geen betegeling maken met enkel regelmatige vijfhoeken. Maar in de ruimte kan je wel een twaalfvlak (dodecahedron) vormen met 12 regelmatige 5-hoeken. Hierdoor kan je, net zoals in het vlak, lijnpatronen creëren door doorlopende lijnen te construeren op de zijden van de vlakken.[br]Projecteer je deze patronen op de omgeschreven bol van het veelvlak, dan krijg je een lijnenpatroon op een bol. Dit principe werd gebruikt bij de noordoostelijke koepel van de Vrijdagmoskee in Isfahan (1088-89).
Carol Bier
Wie telt er?
In [url=https://archive.bridgesmathart.org/2011/bridges2011-497.pdf]Taking Sides, but who's counting?[/url] pleit Carol Bier voor een kritische multidisciplinaire kijk bij het bespreken van middeleeuwse Islamitische decoratieve patronen.[br]Ze schrijft dat Lu & Steinhardt Makovicky en Bonner veel aandacht hebben voor de betegelingen met tienhoekige symmetrie en het onderliggende veelhoekige patroon, maar wel allen het feit missen dat de toren zelf tienhoekig is en niet achthoekig. Deze misvatting is volgens Bier wijdverspreid en de geciteerde auteurs nemen hierbij kritiekloos de fouten over van eerdere publicaties. Makovicky vermeldt dat hij in 2002 de site bezocht, maar volgens Bier [i]"is hij blijkbaar niet uitgestapt om de zijden te tellen."[/i] Ook Lu krijgt een veeg uit de pan. [i]"Lu, die zo zorgvuldig steunt op historische foto's om zijn reconstructies uit te testen had blijkbaar niet door dat de vier zichtbare zijden op oude foto's niet bij een achthoekige toren horen."[/i][br][br]Ze publiceert een historische foto en een getekend grondplan, beide uit 1937, die duidelijk aantonen dat de tombe tienhoekig is en volgens Bier is dit getal net cruciaal in dit gebouw.
Foto van de Gunbad-e Kabud door M.B. Smith genomen op 4 aug 1937.[br]Grondplanvan de Gunbad-e Kabud getekend door M.B. Smith gedateerd op 6 aug 1937.
geïntegreerde kijk
Carol Bier bepleit ook een geïntegreerde kijk op het gebouw. Moderne onderzoekers projecteren volgens haar maar al te graag hun hedendaags wiskundig verhaal van quasi kristallijne structuren op de middeleeuwse decoraties en verliezen daarbij al te gemakkelijk de historisch-culturele achtergrond uit het oog. Als tegengewicht bepleit ze een dialoog vanuit verschillende disciplines. [br]In [url=https://works.bepress.com/carol_bier/38]The Decagonal Tomb Tower of Maragha and its Architectural Context[/url] doet ze alvast een poging om het gebouw breder historisch te situeren. [br]Zeer interessant is ook haar artikel: [url=https://works.bepress.com/carol_bier/86/]Geometry Made Manifest: Reorienting the Historiography of Ornament on the Iranian Plateau and beyond[/url]. In dit artikel gaat ze o.a. in op de link tussen de geometrische patronen en de aangebrachte teksten. De gebruikte koranverzen handelen over het zichtbare en het onzichtbare, over perfectie en zijn volgens Carol Bier niet toevallig gekozen. Vanuit onze Westerse figuratieve blik 'stellen de patronen niets voor', zodat we ze misschien iets te eenvoudig beschouwen als 'ornament'. Volgens haar staat een koranfragment als soera 59, verzen 21-21 niet toevallig op een mausoleum: [i]"...Dit zijn de vergelijkingen (voorbeelden, patronen) die wij voor de mensen maken; misschien zullen zij nadenken. Hij is God; er is geen god dan Hij, de kenner van het verborgene en het waarneembare..." . [/i]Ook de geometrische patronen bevatten zichtbare en onzichtbare lijnen en in tal van teksten wordt de studie van de meetkunde in verband gebracht met leren kijken en begrijpen van diepere inzichten. Heel wat materiaal vind je in online gepubliceerde artikels. Achteraan dit GeoGebraboek vind je een beknopte selectie van [url=https://www.geogebra.org/m/cyjb6gsb#material/vprvyw3j]links[/url].
timpaan op de Gonbad-e Sork (Maragha)
van Seltsjoeken naar Mongolen
Het wordt algemeen aanvaard dat De Gunbad-e Kabud dateert uit 1196-97 nC en daarmee volgt het een lange lijn van experimenten onder de Seltsjoeken, kort voor de inval van de Mongolen in Iran, die startte in 1219. Maragha werd daarbij veroverd in 1221.[br]Na verdere veroveringen keerde Hulegu Khan, kleinzoon van Dzjangis Khan, terug naar Maragha en maakte het tot hoofdstad van het [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Il-kanaat]Ilkanaat[/url]. Hij bouwde er een astronomisch observatorium en haalde er de knapste wetenschappers naar toe. Na de verovering van Bagdad verhuisde Hulegu zelfs de wetenschappelijke bibliotheek van Bagdad naar Maragha. Er werden nieuwe instrumenten ontwikkeld en gebruikt en Maragha werd een motor van wetenschappelijke vooruitgang.[br]Het merkwaardige gebouw met zijn (ongewoon) tienhoekig grondplan en zijn decoratieve motieven is daarmee zowel een eindpunt van de ontwikkelingen van de Seltsjoeken als een begin van nieuwe ontwikkelingen onder de nieuwe heersers en dat als hoofdstad, met een sterke concentratie van wetenschappelijke en culturele kennis en achtergrond.
niet enkel wandpanelen
Carol Bier gaat niet enkel in op de decoratie van de wandpanelen, maar focust ook op de timpanen en zwikken boven deze panelen. In de bovenste zwik onderscheidt ze drie boven elkaar liggende lijnpatronen die elk 5-, 6- en 7-puntige sterren vormen (zie ook onderaan in de applet).
tekeningen uit artikel van Carol Bier:[br]The Decagonal Tomb Tower at Maragha and its Architectural Context
In de onderste zwikken rondom muquarnas vind je dan weer (deels) overlappende veelhoeken met ingeschreven sterren: van boven naar onder een 8-puntige ster binnen een achthoek, een 9-puntige binnen een negenhoek en een 10-puntige ster binnen een tienhoek.
Klik op de aanvinkvakjes en ontdek de 5-, 6-, 7-, 8-, 9- en 10-puntige sterren
Lezing van Carol Bier in het Metropolitan Museum of Arts in New York
Online
Nog meer links ivm Carol Bier vind je op [url=https://works.bepress.com/carol_bier/]https://works.bepress.com/carol_bier/[/url]
girih tegels
hulp of juist cruciaal?
Wat was de rol van girih tegels? Hankin vermeldt voor het eerst in het Westen dergelijke tegels, maar plaatst ze als hulp binnen het gebruik van zgn. 'strapwork' (bandwerk), waarin traditioneel met passer en liniaal gewerkt werd voor de constructie van het eigenlijke decoratief patroon. Lu en Steinhardt argumenteren dat het gebruik van de tegels in de constructie zelf een belangrijke rol spelen.[br]Het oordeel van kenners hierover verschilt.
Hogendijk
Hogendijk schrijft [i]"Moderne onderzoekers nemen aan dat deze girih-tegels bij het ontwerpproces[br]zijn gebruikt"[/i], maar blijft kritisch: [br][i]"[/i][i]In vele grote patronen die bestaan uit vijfhoeken en tienhoeken en andere figuren, kunnen de elementen op fraaie wijze met een soortgelijk patroon op kleinere schaalworden gevuld. Om dit alles correct op schaal te tekenen zijn de girih tegels nuttig. De monumenten van Isfahan laten een duizelingwekkende variatie[br]zien van grotere patronen die in kleinere patronen zijn onderverdeeld..."[/i]. [br][br]Kijkend naar bestaande bronnen zegt Hogendijk dat er slechts één voorbeeld bekend is van een set werktekeningen met begeleidende tekst waarin staat hoe de tekening moet worden vervaardigd. Op de tekeningen is, net zoals op de tekeningen in de Topkapirol de aflijning te zien van girih tegels, maar de tekst legt uit hoe je de eeheidstegel moet ontwerpen. Hij gaat verder: [br][i]"In het mozaïek in de Vrijdagmoskee zijn de girih tegels niet te zien, en het is duidelijk dat ze in het productieproces geen rol speelden, dat wil zeggen dat het niet girih-tegels waren die in de praktijk werden gefabriceerd (uitgehakt of gebakken) en aan elkaar gemetseld om het patroon te maken. Deze tegels hoorden dus bij het ontwerpstadium."[/i]
Cromwell en Bonner
Cromwell citeert Bonner:[br][i]"Bonner argumenteert dat PIC (dit zijn de zgn. Polygons in Contact van Hankin) het enige systeem is met historisch bewijsmateriaal dat het gebruikt werd door ontwerpers doorheen de Islamitische wereld. De methode is veelzijdig en bruikbaar binnen een brede waaier van traditionele patronen, maar is niet overal toepasbaar."[/i]
Lu en Steinhardt
"Het gebruik van girigh tegels heeft praktische voordelen t.o.v. de bandwerkmethode en laat een eenvoudigere, snellere en meer correcte uitvoering toe door arbeiders die niet vertrouwd zijn met hun wiskundige eigenschappen. Meer, ze voorkomen de opeenstapeling van verstoringen van hoeken die je verwacht bij het manueel tekenen met passer en liniaal van (10/3), tegelijk met fouten qua afmeting, positie en oriëntatie. [br]Met girih tegels kan je ook constructies maken die niet zomaar volgen uit de bandwerkmethode. Een klasse van deze patronen heeft herhaalde vijfhoekige motieven, maar dit zonder de (10/3) sterren die je nodig hebt voor het construeren met passer en liniaal. Patronen van dit type verschijnen rond 1200 nC op Seltsjoekgebouwen, zoals het mausoleum van Mama Hatun in Tercan (Turkije) uit 1200 nC.[br]Dit patroon kan gemakkelijk opgebouwd worden met strikken en zeshoeken, ook al komt er geen tienvoudige ster in voor.
afbeelding Lu & Steinhardt - Science maart 2007