[size=85][b][color=#980000]geogebra-book[/color][/b] [b][color=#0000ff]elliptische-Funktionen&&Kreisbüschel&&bizirkulare-Quartiken&&6-Eck-Netze-aus-Kreisen[/color][/b][br]Link [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n]https://www.geogebra.org/m/nzfg796n[/url][/color][/u][/i][/b][br][b][i][color=#9900ff]Elliptische Funktionen[/color][/i][/b] lassen sich charakterisieren durch eine [b][i][color=#9900ff]elliptische Differential-Gleichung[/color][/i][/b] des Typs[br][/size][list][*][size=85][math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\cdot\left(g-f_3\right)\cdot\left(g-f_4\right)[/math] mit komplexen [math]c,f_1,f_2,f_3,f_4\in\mathbb{C}[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Für die [b]WEIERSTRASS[/b]sche[b] [math]\wp[/math][/b]-Funktion ist einer der[b] [b][color=#a61c00]4[/color][/b] [i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [math]\infty[/math].[br][br][br][br][b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b] werden beschrieben durch eine [b][i]Differentialgleichung[/i][/b] [math]p'=c\cdot\left(p-f_1\right)\cdot\left(p-f_2\right)[/math] mit [br]geeignetem [math]c[/math].[br]Eine [b][i][color=#9900ff]Elliptische Funktion[/color][/i][/b] ist auf mehrfache Weise das Produkt zweier [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b],[br][b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] sind dann Winkelhalbierende der [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] aus den [b]2[/b] [b][i][color=#ff0000]Büscheln[/color][/i][/b].[br][b][color=#a61c00]4[/color][/b] verschiedene ("[b][i][color=#00ff00]Brenn[/color][/i][/b]")-Punkte lassen sich durch eine geeignete [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] abbilden [br]auf [math]f,-f,\frac{1}{f},\frac{-1}{f}[/math] mit komplexem [math]f\notin\left\{0,\infty,1,-1,i,-i\right\}[/math].[br]Ist die [b][i]absolute Invariante[/i][/b] [math]J_{\left\{abs\right\}}[/math] der [b][color=#a61c00]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] -d.i. auch die [b][i]absolute Invariante[/i][/b] der [b][i][color=#9900ff]elliptischen [br]Differentialgleichung[/color][/i][/b] - reell, so sind [b][i][color=#6aa84f]konfokale[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] [b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b]:[br]2-teilige für [math]J_{\left\{abs\right\}}\ge0[/math], 1-teilige für [math]J_{\left\{abs\right\}}\le0[/math]. Für [math]J_{\left\{abs\right\}}=0[/math] gilt beides: die 1-teiligen schneiden [br]die 2-teiligen unter 45°: [b][i][color=#0000ff]harmonische Lage[/color][/i][/b] der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b].[br][b][i][color=#0000ff]Tetraederlage[/color][/i][/b]: [math]J_{\left\{abs\right\}}=-1[/math], zu jeder Paarbildung der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] sind [b][i][color=#6aa84f]konfokale[/color][/i][/b] 1-teilige [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] [br][b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b]; sie schneiden sich unter Vielfachen von 30°. Die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] sind - auf der [b][i][color=#0000ff]Möbiusquadrik[/color][/i][/b] - [br]die Ecken eines regulären[b][i][color=#0000ff]Tetraeders[/color][/i][/b]. [br]Die Eigenschaften [/size][size=85][b][i][color=#6aa84f]konfokaler[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkularer Quartiken[/color][/i][/b][/size][size=85] sind mindestens so faszinierend wie die [br]der [b][i][color=#6aa84f]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitte[/color][/i][/b], welche [b][i][color=#0000ff]möbiusgeometrisch[/color][/i][/b] eigentlich nur Spezialfälle sind: [br]von den [b][color=#a61c00]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] fallen [b][color=#a61c00]2[/color][/b] oder [b][color=#a61c00]3[/color][/b] zusammen![br]Geometrisch lassen sich [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] durch ihre [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b], ihre [b][i][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/i][/b] und die [b][i][color=#999999][br]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] als Hüllkurven beschreiben. [br]Obwohl zu diesen Quartiken einige spezielle bekannte historische Kurven gehören, hat diese Kurvenklasse [br]noch keinen Einzug in [b][color=#cc4125]wikipedia[/color][/b] gehalten. [br]Mindestens ebenso faszinierend sind die [b][color=#a61c00]3[/color][/b]-dimensionalen Pendants: die [b][i][color=#6aa84f]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#6fa8dc]DARBOUX Cycliden[/color][/i][/b],[br] zu denen auch die [b][i][color=#6aa84f]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Quadriken[/color][/i][/b] gehören.[br][b][i][color=#980000]geogebra-book[/color][/i][/b] [b][color=#0000ff]conics bicircular-quartics Darboux-cyclides[/color][/b] [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5]https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5[/url][/color][/u][/i][/b][br][br][b]W. Blaschke[/b] stellte [b]1938[/b] die Frage nach allen [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Geweben[/color][/i][/b] aus [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b]. Gelöst war zu der Zeit die Frage [br]nach allen [b][i][color=#999999]geradlinigen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Geweben[/color][/i][/b]: Satz von [b]Graf[/b] und [b]Sauer[/b]: diese Gewebe entstehen aus den [b][i][color=#666666][br]Tangenten[/color][/i][/b] einer Kurve 3. Klasse.[br]Kurioser Weise ist [b]Blaschke[/b]s Problem [b]3D[/b] für [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] auf Flächen gelöst: nur auf [/size][size=85][b][i][color=#6fa8dc]DARBOUX Cycliden[/color][/i][/b][/size][size=85] [br]existieren solche [b][i][color=#ff0000]Kreis-[/color][/i][/b]Gewebe; und sie sind alle erfaßt! [br]Einzige Ausnahme: für [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] auf [b][i][color=#ff0000]Ebenen[/color][/i][/b] oder [b][i][color=#ff0000]Kugeln[/color][/i][/b] ist [b]Blaschke[/b]s Problem weiter ungelöst! [br]Ein wunderschöner Referenzartikel zu allen bisher bekannten ebenen [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Geweben[/color][/i][/b] aus [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] [br]ist [b]Walter Wunderlich[/b]s Arbeit von [b]1938[/b] "[i]Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen[/i]":[br]2-teilige [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] besitzen [b][color=#a61c00]4[/color][/b] paarweise [b][i][color=#0000ff]orthogonale[/color][/i][/b] [b][i][color=#e69138]Symmetriekreise[/color][/i][/b] und dazu [br][b]4[/b] Scharen [b][i][color=#999999]doppelt-berührender[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b]. Aus drei dieser Scharen läßt sich ein [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]6-Eck-Gewebe[/color][/i][/b][/size][size=85] erzeugen.[br][b][br][br][br][br][br][br][br][br]2013[/b] veröffentlichte [b]Fjodor Nilov[/b] [b][color=#a61c00]5[/color][/b] bis dahin unbekannte [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]6-Eck-Gewebe[/color][/i][/b][/size][size=85] aus [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b][/size][size=85], zugrunde liegen [br]allen Beispielen spezielle [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitte[/color][/i][/b].[br]Wir konnten [/size][size=85][b][color=#a61c00]4[/color][/b][/size][size=85] der Beispiele verallgemeinern zu eine Reihe von bisher unbekannten [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]6-Eck-Geweben[/color][/i][/b][/size][size=85], die[br] [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b][/size][size=85] zugrunde legen.[br]Wie rechnet man so etwas? Leider ist ein gut passender spezieller Kalkül für [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] uns nicht zugeflogen.[br]Für [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b] jedoch gibt es einen einfachen, genau passenden Kalkül:[br]Die ebene [b][i][color=#0000ff]Möbius-Gruppe[/color][/i][/b] ist isomorph zur komplexen [math]\mathbf{SO(3,\mathbb{C})}[/math]. (V[size=50]or vielen Jahren fand man diese sehr nützliche [br]Repräsentation noch auf wikipedia - dort ist sie schon lange verschwunden!?[/size]) Die [b]LIE[/b]-Algebra hierzu ist die Komplexifizierung des [br][b][i][color=#0000ff]Euklidischen Vektorraum[/color][/i][/b]s: das [b][i][color=#0000ff]Kreuzprodukt[/color][/i][/b] wird zum [/size][size=85][b]LIE[/b][/size][size=85]-Produkt, das [b][i][color=#0000ff]Skalarprodukt[/color][/i][/b] wird zu einer [br][b][i][color=#9900ff]symmetrischen nicht-ausgearteten[/color][/i][/b] und natürlich nicht mehr positiv-definiten [b][i][color=#9900ff]Bilinearform[/color][/i][/b]. [br]Die Punkte (Vektoren) auf der entstehenden [b][i][color=#ff7700]Quadrik[/color][/i][/b] lassen sich als [b][i][color=#ff0000]parabolische Kreisbüschel[/color][/i][/b] deuten, [br]die anderen Punkte gehören zu [b][i][color=#ff0000]elliptischen/hyperbolischen Kreisbüscheln[/color][/i][/b] und deren [br][b][i][color=#0000ff]Isogonaltrajektorien[/color][/i][/b] (Loxadrome). [br]Deuten lassen sich die Vektoren als [b][i][color=#0000ff]Infinitesimale Möbiustransformationen[/color][/i][/b]. [br]Multiplikation mit [math]\sqrt{-1}[/math] ist die [b][i][color=#0000ff]Polarität[/color][/i][/b].[br]Die [b][i][color=#0000ff]Orthogonalität[/color][/i][/b] und die [b]LAGRANGE[/b]sche Entwicklungsregel lassen sich nutzen. [br]Beispielsweise läßt sich damit die Lage von [b][color=#a61c00]4[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Punkten[/color][/i][/b] (in [math]\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}[/math] einfach charakterisieren.[br][br][b][i][u][color=#cc0000]Links:[/color][/u][/i][/b][br][b][color=#980000]geogebra-book[/color][/b] [b][i]Sechseck-Netze[/i][/b] [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV]https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV[/url][/color][/u][/i][/b][br][/size][size=85][b][color=#980000]geogebra-book[/color][/b][/size][size=85] [b][i]Möbiusebene[/i][/b] [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb[/url][/color][/u][/i][/b][br][br][/size]