Seit der ersten Gerade in der Mittelstufe sah die Welt immer gleich aus. Ein Koordinatensystem mit x und y, darin werden Werte aufgetragen. Letztlich wie früher beim Schiffchen versenken (großer Unterschied: das Kriterium für Funktion oder nicht, das y und x Achse prinzipiell unterschiedlich macht - erinnern Sie sich noch?).[br]Wenn wir uns nun für Volumen interessieren kommt damit der Schritt in die Dritte Dimension.
Wie in zweite Dimenion kann man die dritte Dimension einfach durch eine dritte Achse darstellen, wie auf dem Applet unten.[br]Ein Punkt im Raum wird dann mit seinen Koordinaten, die einfach Vielfache der Grundlänge des Koordinatensystems sind dargestellt. In unserem Fall ist die Grundlänge eins, dann fällt das gar nicht auf.[br]Damit kann man einen Punkt beliebig im Raum darstellen.[br]Spielen Sie das einfach mal mit dem Applet durch.
Wenn man nun Volumina beliebiger Körper berechnen will, dann erfordert dies mehrdimensionale Analysis. Keine Angst - das ist der Uni vorbehalten. (Außer es hat jemand Spaß dran sich selbst einzuarbeiten ;-) )[br][br]Nun gibt es aber Sonderfälle: symmetrische Körper. Es gibt Symmetrien, bei denen man nur 2 Koordinaten braucht um einen Köper im Raum zu beschreiben.
Stellen Sie sich vor Sie binden einen Gegenstand an eine Schnur und lassen ihn um den Kopf kreisen (klassische Schleuder - aufpassen!)[br]a) Welche geometrische Form überstreicht dann die Schnur?[br]b) und wenn Sie nun einen Stab an 2 Schnüre binden welche geometrische Form wird dann vom Stab und den beiden Köpern gebildet? (Schnüre parallel)
a) Kreisfläche[br]b) Ein rotationssymmetrisches Parallelepiped - weniger vornehm: irgend ein konischer Zylinder
Zylinderkoordinaten tragen dieser Symmetrie Rechnung. Man gibt den Abstand von der Zylinderachse, die Lage entlang der Achse und den Winkel an.
Wenn Sie das Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers, wie der im Applet unten dargestellte Zylinder beschreiben wollen, wie viele Koordinaten benötigen Sie und welche sind dies?
Aufgrund der Rottationssymmetrie reduziert sich das auf 2 Koordinaten. Die Längenausdehnung entlang der Achse (in unserem Fall wird das die x-Achse sein - hier mit x[sub]1[/sub] bezeichnet) und der Abstand des Matels von der Achse reichen. Der Winkel [math]\vartheta[/math] einer einzelnen Koordinaten ist für das Volumen bedeutungslos.
Durch Benutzung der Zylinderkoordinaten Abstand r und Lage x, läßt sich das Problem der Volumenberechnung auf zwei Koordinaten reduzieren. Methoden die wir für die rechtwinkligen (kartesischen) Koordinaten (x|y) entwickelt haben lassen sich damit übertragen.