Aki szívesen töri a fejét egy-egy matematikai problémán, azzal néha előfordul, hogy a megoldásához szüksége lenne valamilyen részfeladat eredményére, ahol ez a részfeladat esetleg egy önálló, addig sehol nem látott problémává terebélyesedik. Az igazán szép feladat ilyen, amelyet még sehol nem olvastunk, nem is tudjuk, mennyire nehéz, azt sem, hogy másutt felvetődött-e már. Az ilyenre szokás azt mondani, hogy "szembe jött az utcán". Nos, ez szembe jött. :-)[br]

Legyen adott csúcsaival az ABC[i]Δ [/i], továbbá két pontjával egy olyan [i] e [/i]egyenes, amely a háromszög [i]a=(BC)[/i],[i] b=(CA)[/i] és [i]c=(AB) [/i]oldalegyeneseit rendre a [i]P[sub]1[/sub], Q[sub]1[/sub], R[sub]1[/sub] [/i]pontokban metszi! Legyen ezeknek a háromszög BC, CA, AB oldalak F[sub]a[/sub] ,F[sub]b[/sub], F[sub]c[/sub] felezőpontjaira vonatkozó tükörképe rendre [i]P[sub]2[/sub], Q[sub]2[/sub] [/i]és[i] R[sub]2 [/sub][/i]! [br]Milyen kapcsolat fedezhető fel ezek között a pontok között?

A "[i]Mutassuk meg...[/i]" kezdetű felszólító mondat a matematikai szóhasználatban általában a "[i]Bizonyítsuk be...[/i]" szinonímiája. Jelen esetben azonban inkább "[i]Szemléltessük...[/i]" értelemben használva a GeoGebra eszköztárának a lehetőségeire hívjuk fel olvasóink figyelmét. [br][br] [u]Úgy tűnik,[/u] hogy a [i]P[sub]2[/sub] , Q[sub]2[/sub], R[sub]2[/sub][/i] pontok egy egyenesre illeszkednek( másképpen: [i]kollineárisak[/i]). A [i](P2,Q2)[/i] egyenest megrajzolva kicsit megerősíthetjük ezt a sejtésünket. A kapott sejtést tovább mélyítheti, ha a dinamikus geometria lehetőségeit kihasználva kissé megmozgatjuk a feladat bemenő adatait: az [i]A, B, C [/i]pontokat, vagy az [i]e[/i] egyenest. [br][br]Erősebb sejtést kaphatunk pl. ezzel a logikai értéket előállító GeoGebra paranccsal: [b]Távolság(R_2,Egyenes(P_2,Q_2))≟0 [/b]. Ugyanis ez a válasz 13 tizedesjegynyi pontosságú számolás eredményeként jött létre. Ettől persze a sejtésünk továbbra is csak sejtés marad.[br][br]E kérdésre adható, bárkit meggyőző, egyértelmű választ azonban továbbra is, az analitikus-, vagy elemi geometriai bizonyítás jelentené. Az általános paraméterekkel megadott analitikus geometriai válasz olykor hosszadalmas számolás eredményeként jön létre. Ezt a terhet azonban, - ha nem is minden esetben - a GeoGebra is le tudja venni a vállunkról Ugyanúgy, mint a "nagy" számítógép algebrai rendszerek [url=https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_computer_algebra_systems](CAS)[/url][br][br]A "Biztosan?" gombra kattintva aktivizálható a [b]Kapcsolat({P_2,Q_2,R_2}) [/b]parancs, amely várhatóan az alábbi válaszokat adja:

A fenti fájlt letöltve - és offline üzeemmódban futtatva - ugyanez a válasz ebben a formában jelenik meg:

Megjegyezzük, hogy a [b]Kapcsolat() [/b]parancs vagy két geometriai objektum. pl. pont, egyenes, kör, vagy -mint jelen esetben - egy lista lehet, amely most három vizsgált pont listája. [br][br]A [i]Symbolical chech - s[/i]zimbolikus ellenőrzés - a GeoGebra programrendszer folytonos fejlesztésének egy újabb eredménye, amely a geometriai kapcsolatok közötti, az alakzatok numerikus adatait mellőző - elemi geometriai tételeken alapuló teljes értékű gépi bizonyítása. Hasonólan ahhoz, ahogy agy-egy elemi geometriai összefüggést "szoktunk" igazolni. [br][br]Bonyolultabb (??) esetben, pl. a [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/nrvbvefm]Desarques tétel[/url] állítását megfogalmazva, ha a program belátható időn belül nem tud válaszolni, akkor a [i]"bővebben...[/i]" kérdésre nem ad választ, így meg kell elégednünk a "[i]numerikusan ellenőrzött" [/i]válasszal, ami azonban így is több, mint megbízható.[br][br]Sejtésünk elemi geometriai igazolásához szükségünk lesz néhány olyan fogalomra és tételre, amely ugyan nem része a a középiskolai matematika törzsanyagnak, de az emelt szintű matematika órákon könnyen szóba kerülhet.

Egy egyenesnek azzal adunk i[i]rányítást[/i], hogy kijelölünk rajta egy [i]félegyenes[/i]t, megadva a [i]kezdőpont[/i]ját és egy [i]belső pont[/i]ját. Pl. [i][A,B)[/i] az [i] A[/i] kezdőpontú [i]B[/i]-t tartalmazó félegyenest jelenti. (Újabban az [i]]A,B)[/i] jelölés az elfogadott.) Egy egyenes két félegyenese [i]egyirányú[/i], ha egyik tartalmazza a másikat. Ha két félegyenes tartó egyenesei párhuzamosak, akkor abban az esetben [i]egyirányú[/i]ak, ha a kezdőpontjaikra illeszkedő egyenesnek ugyanabba a félsíkjába esnek.[br][br]Az[i] (A,B) [/i]egyenes [i][A,B)[/i] félegyenesével megadott irányított egyenesen felvett [i]CD [/i]szakaszt akkor tekintjük pozitívnak, az[i] [A,B)[/i] és [i][C.D)[/i] félegyenesek egyirányúak. Azt mondjuk, hogy a [i]CD[/i] irányított szakasz kezdőpontja [i]C,[/i] végpontja [i]D[/i].[br][br]Ha egy egyenes valamely [i]A[/i] pontjához hozzárendeljük a 0-t, B (≠A) pontjához az 1-et, akkor ezzel az egyenes bármely szakaszához hozzárendelhetünk egy számot, amit a [i]szakasz mérőszámá[/i]nak - [i]hosszának[/i] - nevezünk, ha teljesül, hogy az egybevágó szakaszok hossza egyenlő, továbbá ha egy szakaszt egy belső pontjával felbontunk két szakaszra, akkor a részek hosszának az összege megegyezik az eredeti szakasz hosszával.[br][br]Ezt a hozzárendelést a GeoGebra is megteszi: egy szakasz neve magát a szakasz hosszát is jelenti a rajzlap koordinátarendszerében mérve.[br][br]Az egy egyenesre illeszkedő [i]Irányított szakaszok[/i] [i]előjeles hosszán[/i] az irányítással ellátott szakaszok hosszát értjük. Az irányított szakaszok hányadosa a mérőszámaik hányadosát jelenti.[br][br]Ezek a talán szőrszálhasogatásnak tűnő előkészítő fogalmak szükségesek az alábbi definíciók kimondásához: [br][br][b]Definíció:[/b][br]Legyen adott az A és B pont! Az [i](AB) [/i]egyenes valamely C ≠[i]B[/i] pontjának az [i]A [/i]és [i]B[/i] alappontokra vonatkozó [i]osztóviszony[/i]án az [i]AC[/i] és C[i]B[/i] irányított szakaszok előjeles hányadosát értjük amelyet (ABC)-vel jelölünk: [br].[math]\left(ABC\right)=\frac{AC}{CB}[/math].[br][br]Az [i](ABC)[/i] osztóviszony értéke nem függ sem az egyenes irányításától, sem a mértékegység megválasztásától.[br][br]A GeoGebra parancsai között nincs ott az osztóviszony, helyette a - talán praktikusabb - affin osztóviszony fogalma szerepel:[br][br] [b]Definíció:[/b][br]A kollineáris [i]A, B, C [/i]pontok [i]affin osztóviszonyán[/i] az [math]\frac{AC}{AB}[/math] hányadost értjük, ahol A ≠[i]B[/i] .[br]Így az [i]A → 0, B→1[/i] hozzárendeléssel olyan [i]számegyenest[/i] kapunk, ahol a [b]c=AffinOsztóviszony(A,B,C) [/b]GeoGebra parancs azt a [i]c[/i] számot állítja elő, amelyre AC=c, ahol c>0, ha a C pont illeszkedik az A kezdőpontú B belső pontú [A,B) félegyenesre. [br][br]A [i]C→ c[/i] hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű. Ha a [i]c[/i] szám adott akkor a [b]C=Nyújtás(B,c,A)[/b], vagy a[b] C=(1-c) A +c B[/b] paranccsal kaphatjuk meg azt a [i]C[/i] pontot, amelyre [b]c=AffinOsztóviszony(A,B,C)[/b]. (Olvadóinkra bízzuk annak a belátását, hogy ez a két parancs ugyanazt a pontot állítja elő.)[br][br]Ha adott egy egyenesen az [i]A, B [/i]és [i]C [/i]pont, és [i]A ≠B [/i] akkor az [i](ABC)[/i] osztóviszony kifejezhető e három pont affin osztóviszonyával.