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Kegelschnitte in der Sekundarstufe I
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1. Historisches
- Problemlösen mit Kegelschnitten
- Der Klassiker : Quadratur des Kreises
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2. Halbierungen
- Konstruktive Halbierungen
- Winkelhalbierung als Folgerung
- Dreiteilung des Winkels
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3. Verdopplung
- Quadratverdopplung
- Würfelverdopplung
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4. Der Begriff Kegelschnitt
- Doppelkegel als Ausgangskörper
- Die Kegelschnitte als Funktionen
- Einen Kegel zerschneiden
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5. Brennpunkte als Eigenschaft
- Der Begriff der Öffnung
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6. Kreis und Ellipse
- Brennpunkt und Mittelpunkt
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7. Konstruktionen
- Ausgewählte Konstruktionen von Ellipsen
- Parabelkonstruktionen
- Fadenkonstruktionen
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8. Anwendungen
- Hyperbel - Umgekehrt proportionale Zuordnung
- Ellipsen in der Wissenschaft
- Parabolantennen
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9. GeoGebra als Werkzeug
- Grafisches Lösen
- GeoGebrawerkzeuge
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10. Literatur
- Literaturliste
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Kegelschnitte in der Sekundarstufe I
Wilfried Dutkowski, GeoGebra Institut NRW, Sep 16, 2020
In der Sekundarstufe I werden funktionale Betrachtungen immer wichtiger, weil dabei die dynamischen Aspekte in den Fokus genommen werden können, doch treten geometrische Aspekte, bzw. geometrisch-algebraische Verknüpfungen leicht in den Hintergrund. Das kann man schon in der Mittelstufe beobachten, denn die sogenannten 'Antiproportionalen Zuordnungen' bilden den Funktionsgraphen einer Hyperbel, der jedoch sowohl geometrisch, als auch algebraisch -schulisch- uninteressant bleibt. Kreise dagegen werden in erster Linie geometrische behandelt die algebraisch-funktionale Struktur bleibt im Hintergrund. In den Abschlussklassen der S I, die zur FOR führt, spielen dann Parabeln wieder eine wichtige Rolle, allerdings wiederum nur funktional und algebraisch. Das vorliegende Buch soll am Beispiel KEGELSCHNITTE einige Anregungen bieten, wie man algebraische und geometrische Strukturen verbinden kann, wenn es die Leistungsstärke einer Mathematikklasse zulässt. Dies ist keine wirklich neue Idee, denn Hans Schupp, hat das ja schon 2001 in seinem Buch erwähnt, und Dörte Haftendorn hat sich zu Kegelschnitten an verschiedenen Stellen schulrelevant positioniert, eine wirkliche Reanimation dieses Themas als Unterrichtsgegenstand ist jedoch nicht erfolgt. Die Benutzung des Programms GeoGebra im Mathematikunterricht ist vielfach zu beobachten, und wenn man dort einen Kreis -analog zu einer Zirkelkonstruktion- konstruiert, dann ist auf der zeichenebene ein Kreis zu sehen, der im Algebrafenster zunächst nur als Name angezeigt wird. Sortiert man die Objekte nach ihren Objekteigenschaften, so steht der Kreis in der Objektgruppe KEGELSCHNITT, was im Unterricht Fragen aufwerfen dürfte. Benutzt man die Werkzeugleiste, so tauchen dort Objekte wie: Kegelschnitten durch 5 Punkte, bzw, Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln mit kryptischen Bildern auf, die nur mit mathematischem Wissen erklärbar sind. Diese Erfahrung und das Buch von Hans-Wolfgang Henn haben mich inspirier, hier eine Zusammenstellung zu kreieren, die die Kegelschnitte wieder zu einem unterrichtlichen Gegenstand machen, ohne dabei die aktuellen Kernlehrpläne zu umgehen. Veröffentlicht am 17.08.2021 letzte Aktualisierung: 28.08.2021
Table of Contents
- Historisches
- Problemlösen mit Kegelschnitten
- Der Klassiker : Quadratur des Kreises
- Halbierungen
- Konstruktive Halbierungen
- Winkelhalbierung als Folgerung
- Dreiteilung des Winkels
- Verdopplung
- Quadratverdopplung
- Würfelverdopplung
- Der Begriff Kegelschnitt
- Doppelkegel als Ausgangskörper
- Die Kegelschnitte als Funktionen
- Einen Kegel zerschneiden
- Brennpunkte als Eigenschaft
- Der Begriff der Öffnung
- Kreis und Ellipse
- Brennpunkt und Mittelpunkt
- Konstruktionen
- Ausgewählte Konstruktionen von Ellipsen
- Parabelkonstruktionen
- Fadenkonstruktionen
- Anwendungen
- Hyperbel - Umgekehrt proportionale Zuordnung
- Ellipsen in der Wissenschaft
- Parabolantennen
- GeoGebra als Werkzeug
- Grafisches Lösen
- GeoGebrawerkzeuge
- Literatur
- Literaturliste
Problemlösen mit Kegelschnitten
Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Um sich den Probleme der Griechen zu nähern muss man sich technisch sehr stark beschränken, denn die 'alten Griechen' -genauer gesagt Euklids Schüler- kannten lediglich einen Zirkel und ein skalenloses Lineal. Taschenrechner und skalierte Lineale oder Winkelmesser waren für die reine Mathematik verboten, erst recht Computer, die es natürlich überhaupt nicht gab. Ob deshalb die Mathematiker dem Einsatz solcher Werkzeuge kritisch gegenüber stehen ist fraglich.
Für alle in diesem Buch als Probleme bezeichnete Aufgaben gilt als Merkmal:
Es darf nur konstruktiv gelöst und bearbeitet werden, und algebraische Gleichungen gab es nicht. Der Zusammenschluss zwischen Geometrie und Algebra erfolgte erst viel, viel später, nämlich im 15. Jahrhundert unserer Zeitrechnung.
Warum war das Delische Problem überhaupt ein Problem?
Im Kapitel Konstruktionen werden die einfacheren Grundkonstruktionen gezeigt.
Man kann Strecken ohne messen halbieren und darauf aufbauend einen Winkel halbieren.
Man konnte sogar ein Quadrat verdoppeln.
Laut Eratosthenes fragten die Bewohner der Insel Delos eine Orakel um Rat, weil auf der Insel eine schwere Seuche herrschte. Die Antworten dieser Orakel bestanden in der Regel aus mathematischen Aufgaben, und in der Geschichte von Eratosthenes lautet die Aufgabe des Orakels:
Verdoppelt den würfelförmigen Altar im Tempel zu Apollon! - also einen Würfel mit doppeltem Volumen zu konstruieren.
Das nachfolgende Applet zeigt eine -algebraische- Lösung, die das Problem zwar löst, aber nicht im klassischen Sinn der antiken Griechen.
Konstruktiv geht es darum, die dritte Wurzel zu konstruieren, so wie man die Quadratwurzeln mit Hilfe des Höhensatzes von Euklid konstruieren kann. Für die dritte Wurzel ist dies unmöglich, doch das wussten die alten Griechen noch nicht, und so versuchte man sich daran, das Volumen zu verdoppeln
Konstruktiv unlösbar: Verdoppelung eines Würfels
Quadratwurzeln
Das delische Problem ist konstruktiv nicht lösbar, was jedoch nicht intuitiv einsehbar, denn wie die Quadratverdopplung zeigt, ist das bei Flächen kein Problem. Das liegt daran, dass bei Quadraten die Diagonale des Ausgangsquadrates die neue Seitenlänge ist. Analog dazu müsste die Raumdiagonale des Ausgangswürfels die neue Seitenlänge sein, was jedoch nicht der Fall ist.
Das nachfolgende Applet zeigt, wie mit Hilfe des Höhensatzes von Euklid, jede Quadratwurzel konstruiert werden kann, eine Analogie für höhere Wurzeln existiert nicht.
Geometrisches Wurzelziehen
Konstruktive Halbierungen
Mit Zirkel und Lineal
In der antiken Mathematik durfte man - wie schon erwähnt - nur mit einem (Klapp-) Zirkel und einem skalenlosen Lineal hantieren, um Problem zu lösen. Insbesondere das Aufteilen von Strecken und Flächen wurde von den antiken Geometers geschätzt und praktiziert.
Ein Klappzirkel ist ein Gedankenwerkzeug, was bedeutet, dass es dieses Werkzeug nicht wirklich gibt. Es soll verdeutlichen, dass der Zirkel nach der Benutzung wieder einklappt, um so zu verhindern, dass unlautere Konstruktionen erzeugt werden.
Die nachfolgenden zwei Applets zeigen, wie man elementargeometrisch Strecken halbiert, bzw. beliebige - aber gleichlange- Streckenabschnitte konstruiert.
Streckenhalbierung
Beliebige Streckenteilungen
Quadratverdopplung
Quadratverdopplung
Die Idee der Quadratverdopplung führte die antike Mathematmatik in eine tiefe Kriese, denn man musste erkennen, dass die Quadratwurzel von Nichtquadratzahlen nicht als Bruch dargestellt werden konnte, was als irrational bezeichnete wird. Nur 'echte' Zahlenverhältnisse (Brüche) wurden als vernünftige (rationale) Zahlen angesehen, Zahlen, die sich nicht darstellen ließen, waren für die Mathematiker dieser zeit unvorstellbar.
Mit Ausnahme von Quadratzahlen, sind die Wurzeln ausnahmslos irrationale Zahlen, also Zahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind.
Irrationalität in der Mathematik heißt jedoch nicht unkonstruierbar, wie das nachfolgende Applet zeigt.
Geometrisches Verdoppeln
Doppelkegel als Ausgangskörper
Kegel als Körper
In der Sekundarstufe I wird der Kegel durch seine Höhe und seinen Radius bestimmt, also als Volumenstruktur in der Körpergeometrie. Das entspricht nicht der Definition als Rotationsfläche, so wie es Hans Jürgen Elschenbroich in seinem Applet zeigt, das einen Kegel als Rotationsfläche entstehen lässt. Deshalb treten beim Volumenkegel Schwierigkeiten bei der Ellipse auf, da ja die Ellipse als geschlossene Kurve existiert, und eine Volumenkegel kann durchaus zu klein sein, um eine komplette Ellipse als Schnittfläche zu erzeugen. Doch diese zwangsläufige Inkongruenz lässt sich nutzen, um die Definition des Kegels zum Doppelkegel 'unendlicher' Ausdehnung als geistiges Konstrukt zu motivieren. Allerdings wird man damit eher die leistungsstärkere Schülerschaft ansprechen können.
Aus einem Volumenkegel einen 'doppelten' Volumenkegelung durch Spiegelung zu machen ist in der SI unproblematisch, es stellt sich nur die Frage: WARUM? Wenn man die Hyperbel als Kegelschnitt mit zwei Kurvenästen zeigt, dann wird jedoch zumindest deutlich, warum eine solche Erweiterung sinnvoll ist.
Das nachfolgende Applet zeigt die Begrenztheit der Umsetzung der Kegelschnitte durch einen Volumenkegel.
Der Begriff der Öffnung
Aufgesperrt
Wie man in den Applets im vorigen Kapitel erkennen kann, unterscheiden sich die Kegelschnitte durch ihre Öffnungen. Da jedoch die Öffnung davon abhängig ist, wo man den Abstand zwischen den Funktionsverläufen misst, benötigt man einen allgemeine Vereinbarung, wo die Öffnung bestimmt wird. Diese Vereinbarung ist eine Gerade durch einen Brennpunkt parallel zur x-Achse, wodurch zwei Schnittpunkt auf den Funktionsgraphen entstehen. Der Abstand vom Brennpunkt F zu einem Schnittpunkt beschreibt die halbe Öffnung p, und 2p folgerichtig die komplette Öffnung des Kegelschnittes. Diese Öffnung wird als Sperrung bezeichnet. Mit Hilfe einer Geraden durch den Scheitelpunkt, lässt sich ein Rechteck konstruieren, das sogenannte Sperrungsrechteck.
Parametrisierte Kegelschnitte
Brennpunkt und Mittelpunkt
Kreise in der Sekundarstufe I
Kreise finden schon früher schulische Beachtung, und Zirkel und Lineal finden als erste dynamische Geometriewerkzeuge ihre Benutzung im Unterricht, was oft auch durch Motivationsschübe beobachtbar ist. . Dass jeder Kreis - im Prinzip jede Linie - eine punktförmige Konstruktion ist bleibt jedoch meist unklar. Dem Kreis ist ein eigenes Buch gewidmet: Der Kreis - ein Objekt mit vielen Facetten. Auch wenn er natürlich zu den Kegelschnitten gehört, soll er in diesem Buch keine herausragende Rolle spielen. Der Zusammenhang zur Ellipse zeigt das nachfolgende Applet.
Mittelpunkt und Brennpunkte
Ausgewählte Konstruktionen von Ellipsen
Ellipsen als technische Grundlage
Wenn man sich im Internet über Ellipsen informiert, fällt auf, dass die meisten Konstruktionen in die Epoche großer technischer Entwicklungen fällt. Spätestens seit Johannes Kepler 1609 in seinem Buch Astronomie Nova die Ellipsenbahnen der Planeten erklärte, ist diese geometrische Grundform in den Fokus der Mathematiker, Techniker und Philosophen geraten. Allerdings finden sie schon vorher deutliche Beachtung bei Gerolamo Cardano Beachtung, dessen Konstruktion der Ellipse mit Hilfe von ineinandergreifenden Kreisen - später Zahnräder- zu großen technischen Möglichkeiten führte. Der alltägliche Begriff der Kardanwelle erinnert an diesen Universalgelehrten der Renaissance. Das 17. Jahrhundert zeigte, wie wichtig diese Ellipsen in der Naturwissenschaft waren, und Newton belegte mathematisch die Richtigkeit von Kepler und entwickelte das Gravitationsgesetz. Dadurch wurde das heliozentrische Weltbild gestützt.
Der Französische Mathematiker Philippe de La Hire zeiget, dass die Caradnischen Kreise sämtlich Ellipsen sind und entwickelte den Ellipsenzirkel.
Deshalb sind nachfolgend diese Konstruktionen aufgeführt.
Hyperbel - Umgekehrt proportionale Zuordnung
Umgekehrt proportionale Zuordnung
Zu den Standardaufgaben der SI gehört das Gebiet der Zuordnungen als Vorbereitung auf funktionale Zusammenhänge. Dabei treten die größten Schwierigkeiten dann auf, wenn die Sachzusammenhänge nicht mehr proportional sind, sondern umgekehrt proportional, was dann auch als antiproportional bezeichnet wird. Obwohl das Kinderspielgerät einer Wippe hier didaktisch gut genutzt werden kann, zeigt die unterrichtliche Praxis, dass die umgekehrt proportionalen Zuordnungen in der Regel zu größeren Problemen führen. Es ist nicht zu erwarten, dass eine Verbindung zu den Kegelschnitten eine deutliche Verringerung der Schwierigkeiten bedeutet, aber die Verbindung, das umgekehrt proportionale Zuordnungen zu Hyperbeln führen, wird ja in vielen Schulbüchern erwähnt, ebenso die Produktgleichheit im Gegensatz zur Quotientengleichheit bei proportionalen Zuordnungen.
Das nachfolgende Applet -als Schülerarbeitsblatt konzipiert- zeigt den Zusammenhang am Beispiel eines Baukrans.
Die Funktion entdecken
Aus dem Aufgabenblatt 'Ich habs - Algebra und Funktionen'.
Ein Ergänzungsunterricht in Zusammenarbeit mit Hans-Jürgen Elschenbroich für das ZDI - Neuss.
Wenn du den Zusammenhang verstanden hast, kannst versuchen die Funktion selbst zu schreiben. Lasse dich dazu von der Idee leiten: y•x = 20
Bei Funktionen schreibt man nicht y sondern f(x), bzw, g(x). Der Buchstabe vor dem x sollte zu dem Problem passen. Das ist unsere Maximallast, deshalb wäre hier sinnvoll L(x) zu verwenden.
Gib deine Funktion in die Eingabezeile ein, und bleib im Modus Realsituation.
Wenn du alles richtig gemacht hast, sollte der sich Punkt P auf deiner Funktion bewegen.
Hebelgesetz im Physikunterricht
'Gewaltig ist des Schlossers Kraft, wenn er mit Verlängerung schafft!' - diese Binsenweisheit der Schlosser wird im Physikunterricht der Sekundarstufe I phänomenologisch aufgegriffen, und einfache Maschinen nutzen diese Eigenschaft. Die nachfolgende Simulation zeigt, dass auch hier der Zusammenhang zur Hyperbel visuelle erfahrbar werden kann.
Kraft mal Kraftarm ...
Grafisches Lösen
Gleichungen grafisch darstellen
Gibt man in der Eingabezeile bei GeoGebra eine Gleichung in x und y ein, so erstellt dieses Werkzeug sofort eine grafische Lösung dieser Gleichung. Das nachfolgende Applet zeigt, wie man die Idee des Menaichmos heute geometrisch 'einfach' lösen kann. Dabei wird der Höhensatz des Euklid benutzt, um die 'mittleren' Proportionale von zwei Streckenabschnitten zu konstruieren. Wichtig ist darauf hinzuweisen, dass die Konstruktion des Punkte K die Herausforderung für Menaichmos war, der dafür lediglich einen Faden und einen Stift zur Verfügung hatte. Mit Hilfe des Werkzeuges GeoGebra ist das heute 'fast' ein Kinderspiel.
Literaturliste
Fachbücher
Haftendorn, Dörte: Kurven erkunden und verstehen. Wiesbaden: Springer Fachmedien. 2017.
Henn, Hans-Wolfgang: Geometrie und Algebra im Wechselspiel. Wiesbaden: Springer Fachmedien. 2003.
Schupp, Hans: Kegelschnitte. Hildesheim, Berlin: Franzbecker Verlag, 2000.
Fischer, Gerd: Analytische Geometrie. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg Verlag, 1985.
Dutkowski, Wilfried: Koordinatensysteme im Erfahrungsbereich von Schülern und als Mittel zur Beschreibung mathematischer Objekte. (Anlage) Schriftliche Hausarbeit im Rahmen der 1. Staatsprüfung der Sekundarstufe I. Institut für Didaktik der Mathematik, Universität Dortmund, 1994, Prof. Dr. W. Winzen.
v. Hanxleden, Eberhard, Dr, Hentze, Rudolf: Mathematik für höhere Lehranstalten: GEOMETRIE. Braunschweig, Berlin: Friedrich Vieweg und Sohn, 1952.
Euklid: Die Elemente. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Bd. 235. Haan-Gruiten: Verlag Europa Lehrmittel, 20154.
Populärwissenschaftliche Bücher
de Padova, Thomas: Das Weltgeheimnis. München: Piper Verlag mbJH, 2009.
Leibnitz, Newton und die Erfindung der Zeit. München: Piper Verlag mbH, 2015.
Dutkowski, Wilfried: Der Kreis - ein Objekt mit vielen Facetten. GeoGebra - Book.
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