Drucke dir das folgende Arbeitsblatt aus. Die Aufgaben beziehen sich auf die Interaktive Zeichnung unten.

Dieses dynamische Arbeitsblatt führt dich vom alten Sinusbegriff am rechtwinkligen Dreieck zu einem verallgemeinerten Sinusbegriff und zur Sinusfunktion.

1.[br]Begründe, warum die Länge der roten Strecke gerade der Sinus des [br]Winkels α ist.[br]Tipps: [br]Lass dir mit dem Kontrollkästchen ein rechtwinkliges Dreieck einblenden.[br]Der Radius des Einheitskreises ist 1. (Deshalb heißt er ja so)[br][br]2.[br]Zieh nun den Punkt A auf der Kreislinie weiter, bis ein Winkel > 90° entsteht. Nun ist der Winkel α kein Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks mehr. Dennoch wagen wir folgende ...[br][br]... Definition für einen erweiterten Sinusbegriff:[br]Als Sinuswert für Winkel >90° wird einfach die y-Koordinate des Punktes A genommen. (Allerdings nicht bezogen auf das eingezeichnete Koordinatensystem sondern auf das des Einheitskreises. Du kannst es dir mit dem entsprechenden Kontrollkästchen anzeigen lassen.)[br](Dies entspricht genau der Länge der roten Strecke a, bedeutet allerdings, dass die Sinuswerte negativ werden, sobald der "Uhrzeiger nach unten zeigt")[br][br]Du kannst dir die Sinuswerte mit dem entsprechenden Kontrollkästchen auch anzeigen lassen.[br][br]3.[br]Nun soll eine Funktion aufgestellt werden, die jedem Winkel im Bogenmaß den zugehörigen Sinuswert zuordnet (Die Sinus-Funktion)[br]a)[br]Dazu übertragen wir die Bogenlänge b auf die X-Achse (Siehe grüne Linie). Der Punkt B läuft also alle Winkelwerte auf der X-Achse ab (Probiere es aus: Bewege Punkt A)[br]b)[br]Nun tragen wir die Sinuswerte, die zum eingestellten Winkel gehören als y-Werte ab: Wir hängen einfach die Strecke a an den Punkt B. (Aktiviere das Kontrollkästchen "a über B abtragen" und beweg wieder den Punkt A.) Bei verschiedenen Einstellungen des Zeigers liefert der Punkt A' nun Wertepaare (x|y) bzw. (Winkel|zugehöriger Sinuswert), die auf dem Graphen der Funktion liegen, die wir suchen. Alle Versionen von A' gemeinsam bilden also den Funktionsgraphen.[br]c)[br]Stell dir nun vor beim Punkt A' wäre ein Stift. Was für eine Linie würde er ins Koordinatensystem zeichnen? (Öffne mit Rechtsklick auf Punkt A' das Kontextmenü und klicke auf "Spur an". Bewege erneut den Punkt A.)[br][br]4. [br]Zeichne nun ein "Zeigerdiagramm" (Einheitskreis mit Zeiger, rechtw. Dreieck, farbig gekennzeichnete Sinus-Strecke) in dein Heft. [br]Achseneinteilung: 1 LE = 5 cm[br][br]5.[br]a) Für welche(n) Winkel ist sinx = 1? (Antwort in Bogenmaß und Grad)[br]b) Für welche(n) Winkel ist sinx = 0? (Antwort in Bogenmaß und Grad)[br]c) Welche(r) Winkel hat/haben den selben Sinuswert wie der Winkel 80°?[br]d) Welche(r) Winkel hat/haben betragsmäßig den selben Sinuswert wie der Winkel 350°?[br]e) Für welche(n) Winkel gilt sin(x) = 0,5?[br]f) Gib den Winkel π/4 in Gradmaß an. Wie groß ist der Sinus dieses Winkels?[br][br]6.[br]Zeichne komplett ohne die Hilfe dieses PC-Programms den Graphen einer Sinusfunktion! [br]Lege dazu eine Wertetabelle an. (Sinuswerte mit Taschenrechner berechnen)[br]Längeneinheiten: [br]x-Achse: 2cm entspricht π/2[br]y-Achse: 2cm entspricht 1[br][br]7.[br]Was könnte sin(-π/2) und sin(405°) bedeuten?[br]Wenn das klar ist, haben wir die Sinusfunktion als Reelle Funktion (alle reellen Zahlen sind als x-Werte zugelassen) zur Verfügung. Das war das Ziel dieses Arbeitsblattes.

Dieses dynamische Arbeitsblatt zeigt dir, wie du durch Verschieben der Sinusfunktion die Kosinusfunktion erhalten kannst.

1.[br]Das Verschieben von Funktionsgraphen nach rechts und links solle dir von den Quadratischen Funktionen her bekannt vorkommen.[br]Dort war [math]y = (x+a)^2[/math] eine um a nach links verschobene Normalparabel. Das Prinzip war folgendes: Addiert man eine Zahl zum x hinzu, bevor man die Funktion darauf anwendet, so ergibt sich ein horizontal verschobener Graph.[br]Achtung: Die Verschiebung geht nach links, obwohl ein Plus in der Klammer steht. Wenn dir das nicht mehr klar ist, solltest du das kurz wiederholen. Frag die Lehrkraft nach Material dafür.[br][br]2.[br]Wenn wir nun das Selbe mit der Sinus-Funktion tun, ergibt sich folgendes:[br][math]y = sin(x+a)[/math] [br]Auch hier wird etwas zum x dazugezählt, bevor die Funktion darauf angewendet wird. Das Ergebnis ist ebenfalls ein nach links verschober Graph. Überprüfe das, indem du mit dem Schieberegler den Parameter a veränderst.[br][br]3.[br]Für welchen Wert des Parameters a kommt der verschobene Sinus-Graph mit dem Kosinus-Graph zur Deckung? [br]Gib diesen Parameterwert auch als Vielfaches von π und als Winkel im Gradmaß an![br][br]4.[br]Eben haben wir durch Verschiebung des Sinus-Graphen den Kosinus-Graphen erhalten. Es geht natürlich auch umgekehrt[br]Mit welchem Parameterwert muss man die Kosinusfunktion verschieben, damit daraus die Sinusfunktion wird?[br][br]5.[br]Zusammenfassung im Heft notieren:[br][math]sin(α+π/2) = cos(α)[/math][br][math]cos(α-π/2) = sin(α)[/math]

Dieses Arbeitsblatt führt die dritte der trigonometrischen Funktionen ein, die Tangensfunktion.[br]Bitte vorher die beiden Arbeitsblätter zur Sinus- und Kosinusfunktion bearbeiten.

[b]Teil I: Wie entsteht die Tangensfunktion?[/b][br][br]Wir betrachten auch hier wieder das altbekannte rechtwinklige Dreieck (braun) im Einheitskreis. Was neu ist, sind die beiden gestrichelten schwarzen Linien:[br]Eine senkrechte Tangente an den Kreis, die durch den Punkt (1|0) geht (natürlich im Koordinatensystem des Einheitskreises).[br]Eine Gerade durch M und A, die einfach eine Verlängerung des "Uhrzeigers" ist.[br][br]Den Schnittpunkt S (rot) dieser beiden Geraden nehmen wir nun genauer unter die Lupe. Sein y-Wert (rote Strecke d) ist nämlich gerade der Tangenswert des Winkels α:[br]Wenn du den Zeiger drehst, so dass der Winkel sich 90° annähert, wird die "Zeigerverlängerung" immer steiler und der Schnittpunkt wandert bald in extreme Höhen außerhalb des Bildes. Wenn du das Kontrollkästchen "Tangenswerte anzeigen" aktivierst, kannst du sehen, wie hoch der Punkt steht.[br]Sobald du die 90° überschreitest, schneiden sich die beiden Geraden nicht mehr oberhalb des Bildes sondern unterhalb. Drehe weiter und der Punkt S erscheint von unten wieder im Bild.[br]Drehst du noch weiter, wandert S wieder nach oben, bis er schließlich erneut oben aus dem Bild verschwindet und am Ende unten wieder auftaucht. [br][br]Wie aus den beiden anderen Arbeitsblättern schon gewohnt, setzen wir nun die Bewegung des Punktes S in eine Funktion um, die du dir in der rechten Bildhälfte zeichnen lassen kannst:[br]Kontrollkästchen "d über B abtragen" aktivieren[br]Beim Punkt S' mit Rechtsklick "Spur an" auswählen.[br][br]Wie auch die Sinus- und die Kosinusfunktion ist die Tangensfunktion periodisch: Dass der Verlauf des Graphen sich nach einer vollen Umdrehung im Einheitskreis wiederholt, dürfte sowieso klar sein. Allerdings ist es bei der Tangensfunktion sogar so, dass sie schon nach einer halben Umdrehung, wieder von vorn anfängt. Die Tangensfunktion besitzt also die Periode[math]\pi[/math], nicht 2[math]\pi[/math].[br][br][b][br]Teil II: Wie hängt die Tangensfunktion mit Sinus und Kosinus zusammen?[/b][br][br]Den Wert der Tangensfunktion kannst du rechnerisch auch bekommen, indem du den Wert der Sinusfunktion durch den der Kosinusfunktion teilst.[br]Aktiviere das Kontrollkästchen "Zusammenhang Sin/Cos anzeigen", schau dir die angezeigten Werte an und vergleiche sie mit den Tangenswerten.[br][br]Es gilt also der Zusammenhang: [math]tan(x) = sin(x) / cos(x)[/math][br][br](Den kennst du vermutlich schon aus dem Bereich der rechtwinkligen Dreiecke)[br][br][br][b]Teil III: Hefteintrag[/b][br][br]Zeichne einen neuen Einheitskreis mit Tangente und "Zeigerverlängerung" sowie Schnittpunkt S. Zeichne die rote Strecke für den Tangens ein.[br][br]Notiere die Formel für den oben erwähnten Zusammenhang der drei Funktionen[br][br]Zeichne eine Tangensfunktion im Bereich von -π bis +2π. [br]Verwende dazu eine Wertetabelle von 0 bis 2π (Taschenrechner nutzen) und überleg dir die restlichen Punkte mit Hilfe der Periodizität der Funktion.[br]Auf der y-Achse reicht der Bereich zw. -6 und 6.

Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt kannst du sehen, wie sich das Schaubild einer Sinusfunktion mit Hilfe verschiedener Parameter modifizieren lässt (Verschiebungen, Streckung, etc.)[br][br]Das Meiste davon funktioniert genau so wie bei den quadratischen Funktionen bwz. Parabeln. Bitte schau dir, bevor du weiter machst, noch mal an, wie man Parabeln[br]- nach oben bzw. unten (vertikal) verschiebt[br]- nach links bzw. rechts (horizontal) verschiebt[br]- vertikal staucht und streckt[br][url=http://www.geogebra.org/m/TyE6bkch#chapter/86411]Hier[/url] kannst du dir z.B. die Lösungen anschauen. Wenn das nicht reicht, frag deinen Lehrer!

1. (Aufgabe)[br]Spiele mit den Schiebereglern um herauszufinden welcher Parameter was bewirkt.[br]a) Welche Parameter verschieben den Graphen, ohne dass seine Form verändert wird?[br]b) Welche Parameter verändern die Form des Graphen?[br]c) Welche Parameter wirken "anders herum, als du erwarten würdest"?[br]d) Welche Parameter funktionieren genau so wie bei den quadratischen Funktionen, welcher kommt neu dazu?[br]e) Wenn du für eine Wertetabelle einen Funktionswert ausrechnen willst musst du die korrekte Rechenreihenfolge beachten. In welcher Reihenfolge werden die 4 Parameter angewendet?[br][br]2. (Hefteintrag)[br]a) Überschrift: Modifizierte Sinusfunktion[br]b) Schreibe die Funktionsgleichung mit den Parametern a-d aus dem Bild oben in dein Heft und notiere für jeden der vier Parameter, was er bewirkt[br]c) Beispiel: Stelle mit den Schiebereglern schöne Zahlen ein, notiere wie in Aufgabe b die Funktionsgleichung (mit den konkreten Zahlen) sowie die Wirkung der Parameter (z. B. "Verschiebung um 2 nach links") und zeichne dann den Graphen in dein Heft.[br][br]3. (Info)[br]Gemeinsame Prinzipien bei quadratischen und trigonometrischen (und auch anderen) Funktionen:[br]a) Eine Vervielfachung (Mal) der bereits berechneten Funktionswerte (Parameter a) bewirkt eine Streckung in vertikaler Richtung.[br]b) Eine Vergrößerung (Plus) der bereits berechneten Funktionswerte (Parameter d) bewirkt eine Verschiebung nach oben.[br]c) Eine Vergrößerung (Plus) der X-Werte bevor man die Funktion anwendet (Parameter b) bewirkt eine Verschiebung nach links (also "anders rum als man erwartet")[br]d) Eine Vervielfachung (Mal) der X-Werte vor Anwendung der Funktion (Parameter c) bewirkt eine Stauchung in horizontaler Richtung (also auch "falsch rum")[br]f) Zusammenfassend: Eine Änderung der X-Werte vor Anwendung der Funktion wirkt "falsch rum", eine Änderung der bereits berechneten Funktionswerte im Nachhinein wirkt "richtig rum"[br][br]Lösungen zu 1.[br]a) b und d[br]b) a und c[br]c) b und c[br]d) a, c und d wie bei quadratischen Funktionen, b kommt neu dazu[br]e) Erst b dann c, dann wird die Sinusfunktion angewendet. Danach kommen a und d an die Reihe.