In dieser Unterrichtseinheit lernst du, wie man Wendepunkte einer Funktion bestimmt und die Krümmung in verschiedenen Intervallen analysiert. [br]Nutze die zweite Ableitung, um herauszufinden, ob die Funktion in einem Intervall rechts- oder linksgekrümmt ist und ob ein Wendepunkt vorliegt.
Die zweite Ableitung einer Funktion gibt an, wie sich die Steigung der Funktion verändert. Damit können wir die Krümmung der Funktion analysieren:[br][br]
- Wenn [math]\( f''(x) > 0 \)[/math]: Die Funktion ist in diesem Intervall [b]linksgekrümmt[/b].
[br]- Wenn [math]\( f''(x) < 0 \)[/math]: Die Funktion ist in diesem Intervall [b]rechtsgekrümmt[/b].
[br]- Wenn [math]\( f''(x) = 0 \)[/math]: Dies könnte ein Wendepunkt sein, wenn sich das Krümmungsverhalten ändert.
Was bedeutet es, wenn [math]\( f''(x) > 0 \)[/math] für ein Intervall gilt?
Betrachten wir die Funktion [math]\( f(x) = x^3 - 3x \)[/math]. Gehe die folgenden Schritte durch, um die Wendepunkte und die Krümmung der Funktion zu bestimmen:
Berechne [math]\( f'(x) \)[/math] und dann [math]\( f''(x) \)[/math].
[math]\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)[/math], [br][math] \( f''(x) = 6x \)[/math]
Setze [math]\( f''(x) = 0 \)[/math] und löse nach [math]\( x \)[/math] auf.
Bestimme mit der Lösung von Schritt 2. die Intervalle unterschiedlicher Krümmung.
[math]I_1=\left(-\infty;0\right)[/math][br][math]I_2=\left(0;\infty\right)[/math]
Bestimme das Vorzeichen von [math]\( f''(x) \)[/math] in jedem Intervall, um festzustellen, ob die Funktion dort links- oder rechtsgekrümmt ist und ob ein Wendepunkt vorliegt.
[math]x=0[/math][math]I_1[/math]:[br][math]f''\left(-1\right)=-6<0[/math]: Also ist [math]f\left(x\right)[/math] in [math]I_1[/math] rechtsgegrümmt.[br][br][math]I_2[/math]:[br][math]f''\left(1\right)=6>0[/math]: Also ist [math]f\left(x\right)[/math] in [math]I_2[/math] linksgegrümmt.[br][br]Da sich das Krümmungsverhalten ändert liegt bei [math]x=0[/math] eine Wendestelle vor.
Berechne den Funktionswert an der Wendestelle um den Wendepunkt vollständig anzugeben.
[math]f\left(0\right)=0^3-3\cdot0=0[/math][br]Der Wendepunkt ist also [math]W\left(0|0\right)[/math]
Wie kann die zweite Ableitung verwendet werden, um Wendepunkte zu finden?
Welche Bedeutung hat es, wenn die zweite Ableitung einer Funktion in einem Intervall negativ ist?
Untersuche die Krümmung der Funktion [math]g(x)=x^4-4x^2[/math] und bestimme mögliche Wendepunkte mithilfe folgender Schritte[br][br]1. Berechne die erste und zweite Ableitung [math]\( g'(x) \)[/math] und [math]g''\left(x\right)[/math].
[br]2. Finde die Nullstellen von [math]\( g''(x) \)[/math] und bestimme die Intervalle.
[br]3. Bestimme das Vorzeichen von [math]\( g''(x) \) [/math]in jedem Intervall.
[br]4. Identifiziere Wendepunkte und gib an, ob die Funktion rechts- oder linksgekrümmt ist.