Betrachte die Funktionen in der Grafik:[br][list][*]Der Punkt P hat die x-Koordinate a (a kann mit dem Schieberegler variiert werden: einfach am Schieberegler ziehen!)[/*][*]Der Punkt P hat die y-Koordinate f(a), d.h. P(a|f(a)) liegt immer auf dem Graphen von f und "wandert" beim Varriieren des Schiebereglers auf dem Funktionsgraphen von f entlang. ([color=#ff7700]Mache dir das klar!![/color])[/*][*]Die Gerade g[sub]a[/sub] ist die Tangente an f an der Stelle a, also im Punkt P(a|f(a)) ([color=#ff7700]Mache dir das klar!![/color])[br][/*][/list]

Gib die Intervalle (bzw. Stellen) auf der x-Achse an, (also Intervalle für a!), in denen g positive, negative (bzw. keine) Steigung hat!

Dort wo g positive (negative) Steigung hat, sagt man, dass der Graph von f steigt (fällt). [br]Etwas genauer heißt das:[br][list][*]nehmen die Funktionswerte (f(x)) mit wachsenden x-Werten zu, [i]wächst (oder steigt) [/i]die Funktion dort[i] streng monoton[/i]. Anders formuliert: "Wird mein x-Wert größer, so wird auch der y-Wert größer." Mathematisch formuliert: [b]Für streng monoton wachsende Funktionen gilt: x[sub]1[/sub]<x[sub]2[/sub] [math]\Longrightarrow[/math] [b]f(x[sub]1[/sub])<f(x[sub]2[/sub]). ([color=#ff7700]Mache dir das klar!![/color])[/b][/b][/*][*]nehmen die Funktionswerte mit wachsenden x-Werten ab, [i]fällt[/i] die Funktion dort [i]streng monoton[/i]. Anders forumliert: "Wird mein x-Wert größer, werden meine y-Werte kleiner." Mathematisch formuliert: [b]Für streng monoton fallende Funktionen gilt: x[sub]1[/sub]<x[sub]2[/sub] [math]\Longrightarrow[/math] f(x[sub]1[/sub])>f(x[sub]2[/sub]). ([color=#ff7700]Mache dir das klar!![/color])[/b][/*][/list]Für die Steigung m[sub]a[/sub] der Tangente g[sub]a[/sub] an der Stelle a gilt bekanntlich: [b]m[sub]a[/sub]=f'(a)[/b], d.h. der Punkt A(a|f'(a))=A(a|m[sub]a[/sub]) liegt auf dem Graphen von f'! ([color=#ff7700]Mache dir das klar!![/color])[br]

Gib mindestens 4 Punkte P[sub]1[/sub], P[sub]2, [/sub]P[sub]3[/sub] und P[sub]4 [/sub]an, die auf dem Graphen der Ableitungsfunktion f' liegen, indem du m[sub]a[/sub] für verschiedene (geeignete) Werte von a bestimmst (-durch Ablesen in der Grafik).

Es gilt also:[br][list][*]Ist die Tangentensteigung m[sub]a[/sub] für die Tangente an einer Stelle a [b]positiv,[/b] so hat die Ableitungsfunktion dort einen Punkt mit einem _________________ y-Wert. Der Punkt liegt also ___________ der x-Achse.[/*][*]Ist die Tangentensteigung m[sub]a[/sub] für die Tangente an einer Stelle a [b]negativ,[/b] so hat die Ableitungsfunktion dort einen Punkt mit einem _________________ y-Wert. Der Punkt liegt also ___________ der x-Achse.[/*][*]Ist die Tangentensteigung m[sub]a[/sub] für die Tangente an einer Stelle a [b]null,[/b] so hat die Ableitungsfunktion dort einen Punkt mit y-Koordinate ______________. Der Punkt ist also eine __________________________________ .[br][/*][/list]

Intervalle sind Bereiche auf der x-Achse.[br]

[list][*]Markiere auf der x-Achse mit grün (mit rot) die Intervalle, in denen f streng monoton wachsend (streng monoton fallend) ist.[/*][*]Die Stellen, an denen f'(x)=0 gilt, markierst du blau.[/*][*]Trage die Punkte P[sub]1[/sub] - P[sub]4[/sub] ein.[br][/*][/list]

Wir haben den Zusammenhang zwischen der Tangentensteigung (an f) und den Funktionswerten der Ableitungsfunktion (f') geklärt. [br]Dieser Zusammenhang wird im[size=150] [b]Monotoniesatz[/b][/size] festgehalten:[br][size=100][size=150][br]Wenn für alle x aus einem Intervall I gilt:[br][list][*]f'(x)>0, dann ist f streng monoton wachsend in I.[/*][*]f'(x)<0, dann ist f streng monoton fallend in I.[/*][/list][/size][/size][size=150][size=100](f muss hierfür auf I differenzierbar sein)[br][/size][/size]

Skizziere mit diesen Erkenntnissen den Graph der Ableitungsfunktion![br][br][br]Wenn du fertig bist, klicke [url=https://www.geogebra.org/m/bmarhzm7]hier[/url]