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Sie haben bereits zur Umwandlung eines Farbbildes in ein Schwarz-Weiß-Bild die Bestimmung eines Helligkeitswerts über das Skalarprodukt aus Farbvektor und Luminanzvektor erarbeitet. [br]Eine alternative Methode nutzt das Skalarprodukt eines Vektors [math]\vec{f}=\begin{pmatrix} r \\ g \\ b \end{pmatrix}[/math] mit sich selbst:[br] [math]\vec{f} \cdot \vec{f}=r \cdot r+g \cdot g+b \cdot b[/math]. [br]Wie dieses Ergebnis in der geometrischen Deutung des rgb-Farbvektors als Farbpunkt bzw. als Farbpfeil mit deren Drstellung im Farbwürfel zusammenhängt, untersuchen Sie in diesem Arbeitsblatt.
Wenn Sie Farbvektoren als Punkte bzw. Pfeile (vom Ursprung ausgehend) im Farbwürfel deuten, hängt die Helligkeit grob auch mit deren Darstellung im Farbwürfel zusammen. Erzeugen Sie im Applet Farbvektoren unterschiedlicher Helligkeit, deuten Sie den Farbvektor erst als Punkt und dann als Pfeil. [br]Untersuchen Sie jeweils den Zusammenhang und beschreiben Sie ihn.
Je heller der Farbvektor, [br]- desto länger ist der Farbpfeil (vom Ursprung aus).[br]- desto größer der Abstand des Farbpunkts vom Ursprung.
[b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][color=#095EBC] Benutzerhinweise zum obigen Applet[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Bewegen Sie die Schieberegler der Gewichte [i]k,l und m[/i], um den Farbvektor zu ändern. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Mit dem Schieberegler unten kann man zwischen Punkt- und Pfeildeutung des Farbvektors wechseln. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man oben rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/ggb_vollbild_icon.png[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.
Ein Pfeil ist eine geometrische Deutung eines Vektors als Änderung zwischen zwei Punkten. Die Länge des Pfeils entspricht dann dem Abstand zwischen den beiden Punkten. Man schreibt dafür auch: [math]|\overrightarrow{P_1 P_2}|[/math][br]Betrachten Sie zunächst Vektoren in 2D. [br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/AbstandP1P2_2D.png[/img][br][br]Stellen Sie mithilfe der Abbildung eine Formel auf zur Berechnung des Abstands zwischen P1 und P2 (also der Länge des Pfeils [math]\overrightarrow{P_1 P_2}[/math]) und wählen Sie unten die korrekte Antwort.
Nutzen Sie nun die nachfolgende Zeichnung, um den Betrag des Vektors [math]\overrightarrow{P_1 P_2}[/math] im Dreidimensionalen zu berechnen. [math]|\overrightarrow{P_1 P_2}|=...[/math][br][i]Tipp: Berechnen Sie zunächst [/i] [math]|\overrightarrow{Q P_1}|[/math] [br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/AbstandP1P2_3D.png[/img]
Geben Sie den Vektor [math]\overrightarrow{P_1 P_2}[/math] in Komponentenschreibweise an. [br]Berechnen Sie dann das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst [math]\overrightarrow{P_1 P_2}\cdot \overrightarrow{P_1 P_2}[/math] und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Länge des Pfeils [math]|\overrightarrow{P_1 P_2}|[/math] aus Aufgabe 3.
Komponentenschreibweise:[br][math]\overrightarrow{P_1 P_2}=\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ z_2-z_1)\end{pmatrix}[/math][br]Skalarprodukt:[br][math]\overrightarrow{P_1 P_2}\cdot \overrightarrow{P_1 P_2}=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2[/math][br][br]Vergleich:[br]Die Länge des Pfeils [math]|\overrightarrow{P_1 P_2}|[/math] lässt sich durch die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors [math]\overrightarrow{P_1 P_2}[/math] mit sich selbst berechnen.
Berechne den Abstand [math]|\overrightarrow{P_1}|[/math] des Punkts [math]\overrightarrow{P_1}=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}[/math] vom Ursprung.
Analog zu Aufgabe 3 mit der linken unteren Ecke des Quaders im Ursprung:[br][math]|\overrightarrow{P_1}|=\sqrt{(x_2-0)^2+(y_2-0)^2+(z_2-0)^2}[/math][br][br]
Der Betrag eines Vektors [math]\vec{v}=\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\v_3\end{matrix}\right)[/math] wird definiert als [math]|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}[/math].[br]Nenne die Bedeutung des Betrags eines Vektors für die Deutung [br]a) [i]Vektor als Pfeil[/i],[br]b) [i]Vektor als Punkt[/i].
Der Betrag eines Vektors gibt für die Deutung ...[br]a) [i]Vektor als Pfeil[/i] die Länge des Pfeils,[br]b) [i]Vektor als Punkt[/i] den Abstand des Punkts vom Ursprung an.
[i][u]Quellen: [/u][br]Susanne Digel adaptiert von [url=https://www.geogebra.org/u/mathmum]Simona Riva[/url] .[/i]